高校数学：因数分解を使った整数問題

こんにちは。相城です。今回は因数分解による整数問題を扱ってみようと思います。

攻略のカギ

因数分解による整数問題では
$(x+a)(y+b)=c\ (a,b,c$ は整数 $)$
のような形に持ち込むことが解法のカギとなります。

例題を見てみよう

例題を見ていきましょう。まず基本の形から
【例題1】 $(x-3)(y+2)=5$ を満たす整数 $x, y$ の組をすべて求めよ。
【解法1】この場合 $x-3$ と $y+2$ の積が5なので,
積が5になる整数の組は, $x-3$ と $y+2$ で区別すると, $( 1, 5 ), ( -1, -5 ), ( 5, 1 ), (-5, -1)$ となり,
$x-3=1, y+2=5$ より, $(x, y)=( 4, 3 )$
$x-3=-1, y+2=-5$ より, $(x, y)=( 2, -7 )$
$x-3=5, y+2=1$ より, $(x, y)=( 8, -1 )$
$x-3=-5, y+2=-1$ より, $(x, y)=( -2, -3 )$
以上より, $(x, y)=(4, 3), (2, -7), (8, -1), (-2, -3)$

【例題2】 $xy-3x-2y+3=0$ を満たす整数 $x, y$ の組をすべて求めよ。
【解法2】この場合, 半ば強引に因数分解する形にもっていく。
$xy-3x$ の部分で $x$ でくくれるので, $x(y-3)$ とすると, 因数分解できるためには後の項で $(y-3)$ という共通因数がなければならない。
したがって, 半ば強引に次のように式を変形する。
$x(y-3)\underline{-2(y-3)-6}+3=0$
下線部の $-2(y-3)$ を展開してできる $+6$ ははじめになかった数なので, $-6$ を付けてやることで, これを解消している。
この式を因数分解して $(x+a)(y+b)=c$ の形にもち込むと
$(x-2)(y-3)=3$
積が3になる整数の組は, $x-2$ と $y-2$ で区別すると, $( 1, 3 ), ( -1, -3 ), ( 3, 1 ), (-3, -1)$ となり,
$x-2=1, y-3=3$ より, $(x, y)=( 3, 6 )$
$x-2=-1, y-3=-3$ より, $(x, y)=( 1, 0 )$
$x-2=3, y-3=1$ より, $(x, y)=( 5, 4 )$
$x-2=-3, y-3=-1$ より, $(x, y)=( -1, 2 )$
以上より, $(x, y)=(3, 6), (1, 0), (5, 4), (-1, 2)$