高校数学:数学的帰納法と倍数の証明の解法

こんにちは。今回は帰納法と倍数の証明について書いておきます。

倍数であると仮定して変形していく

【例】n自然数のとき,
4^{2n+1} + 3^{n+2}
が13の倍数であることを証明せよ。
【解法】n=1のとき,
4^3+3^3=64+27=91=13\cdot7
で成り立つ。
n=kのとき, 与式が13の倍数であると仮定すると,
4^{2k+1}+3^{k+2}=13m\, (mは自然数)\cdots\maru1
n=k+1のとき,
\begin{array}{lll}4^{2(k+1)+1}+3^{(k+1)+2}&=&4^{2k+3}+3^{k+3}\\&=&16\cdot\underline{4^{2k+1}}+3\cdot3^{k+2}\cdots\maru2\\\end{array}
\maru2の下線部は\maru1より, 4^{2k+1}=13m-3^{k+2}で置き換えることができるので,
これを\maru2に代入すると,
\begin{array}{lll}16\cdot(13m-3^{k+2})+3\cdot3^{k+2}&=&16\cdot13m-16\cdot3^{k+2}+3\cdot3^{k+2}\\&=&13\cdot16m-13\cdot3^{k+2}\\&=&13(16m-3^{k+2})\end{array}
よって, n=k+1のときも13の倍数になる事が示せた。
したがって, すべての自然数において, 4^{2n+1} + 3^{n+2}は13の倍数である。

【ここがコツ】 4^{2k+1}+3^{k+2}=13mとおいたのを, 4^{2k+1}=13m-3^{k+2}に変形してn=k+1の式に代入していくところ。また, それが代入できるように, 4^{2k+3}16\cdot4^{2k+1}に変形, 代入した後, 3^{k+2}の項が計算できるように, 3^{k+3}3\cdot3^{k+2}に変形するところがコツになります。

帰納法と倍数の証明
与式が何かの倍数であると仮定して式をつくり, それを変形して代入して解く。
今回のは4^{2k+1}+3^{k+2}=13mとおいたのを, 4^{2k+1}=13m-3^{k+2}に変形してn=k+1の式に代入。また, この変形した式が代入できるよう, 事前に累乗の指数部分を計算したり, 分解しておくこと。

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