高校数学：数III・自然対数eの定義について

こんにちは。今回は自然対数 $e$ のお話です。

自然対数eの発見

$y=\log_a{x}$ を導関数の定義にしたがって, 微分すると,
$\begin{array}{lll}y'&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\log_a{(x+h)}-\log_a{x}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\log_a\left(\dfrac{x+h}{x}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\cdots\maru1\end{array}$
ここで, $\dfrac hx=t$ とおくと, $h\longrightarrow0$ であるから, $t\longrightarrow0$ , また, $h=tx$ なので, $\maru1$ を書き換えると,
$\begin{array}{lll}y'&=&\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{1}{tx}\log_a\left(1+t\right)\\&=&\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac1x\log_a\left(1+t\right)^{\frac1t}\\&=&\dfrac1x\log_a\underline{\left\{\displaystyle\lim_{t\to0}\left(1+t\right)^{\frac1t}\right\}}\cdots\maru2\end{array}$
$\maru2$ の下線部を実際に計算すると, (CASIO電卓による計算)
$t\longrightarrow+0$
$t=0.1\,\,\rightarrow(1+0.1)^{10}=2.59374246$
$\vdots$
$t=0.00001\,\,\rightarrow(1+0.00001)^{100000}=2.718268237$
$\vdots$
$t\longrightarrow-0$
$t=-0.1\,\,\rightarrow(1-0.1)^{-10}=2.867971991$
$\vdots$
$t=-0.00001\,\,\rightarrow(1-0.00001)^{-100000}=2.71829542$
$\vdots$
となり, この極限値を自然対数 $e$ と定義します。
$e$ は $\mathrm{2.71828182845904}\cdots$ という無理数になります。

自然対数eの定義

自然対数 $e$ は次のように定義する。
$e=\displaystyle\lim_{t \to 0}\left(1+t\right)^{\frac1t}\cdots\maru1$
または,
$e=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}\cdots\maru2$
$\maru1$ で $\dfrac1t=n$ とおくと,
$t\longrightarrow0$ のとき, $n\longrightarrow\infty$ で,
$h=\dfrac1n$ になるので, $\maru2$ 式が得られる。

問題

【問題】次の極限値を求めよ。
$(1)\,\,\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac1x}$
$(2)\,\,\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{\frac x3}$
$(3)\,\,\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^{x}$
$(4)\,\,\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{2x}$

解答　クリックしてください

$(1)$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac1x}&=&\displaystyle\lim_{x\to\0}\left\{(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right\}^2\\&=&e^2\end{array}$
$(2)$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{\frac x3}&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left\{\left(1+\dfrac1x\right)^x\right\}^{\frac13}\\&=&\sqrt[3]{e}\end{array}$
$(3)$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^{x}&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{1}{1+\frac1x}\right)^{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{\left(1+\frac1x\right)^x}\\&=&\dfrac1e\end{array}$
$(4)$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{2x}&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left[\left\{1+\left(-\dfrac{1}{x}\right)\right\}^{-x}\right]^{-2}\\&=&e^{-2}\\&=&\dfrac{1}{e^2}\end{array}$