高校数学:数III微分・三角関数・対数関数・指数関数の導関数の公式

こんにちは。今回は三角関数・指数関数・対数関数の導関数の公式について書いておきます。

三角関数の導関数

【基本公式】
\maru1\,\,\left(\sin x\right)'=\cos x 証明はこちら
\maru2\,\,\left(\cos x\right)'=-\sin x 証明はこちら
\maru3\,\,\left(\tan x\right)'=\dfrac{1}{\cos^2x} 証明はこちら
【合成関数の場合の公式】
\maru4\,\, \left\{\sin f(x)\right\}'=\left\{\cos f(x)\right\}\cdot f'(x)
\maru5\,\, \left\{\cos f(x)\right\}'=\left\{-\sin f(x)\right\}\cdot f'(x)
\maru6\,\, \left\{\tan f(x)\right\}'=\dfrac{f'(x)}{\cos^2f(x)}
n乗の場合の公式】
\maru7
\begin{array}{lll}\left\{\sin^n f(x)\right\}'&=&n\sin^{n-1} f(x)\cdot\left\{\sin f(x)\right\}'\\&=&n\sin^{n-1}f(x)\left\{\cos f(x)\right\}\cdot f'(x)\end{array}
\maru8
\begin{array}{lll}\left\{\cos^n f(x)\right\}'&=&n\cos^{n-1} f(x)\cdot\left\{\cos f(x)\right\}'\\&=&n\cos^{n-1}f(x)\left\{-\sin f(x)\right\}\cdot f'(x)\\&=&-n\cos^{n-1}f(x)\left\{\sin f(x)\right\}\cdot f'(x)\end{array}
\maru9
\begin{array}{lll}\left\{\tan^n f(x)\right\}'&=&n\tan^{n-1} f(x)\cdot\left\{\tan f(x)\right\}'\\&=&n\tan^{n-1}f(x)\cdot\dfrac{f'(x)}{\cos^2f(x)}\end{array}

対数関数の導関数

【基本公式】
\maru1\,\,\left(\log x\right)'=\dfrac1x 証明はこちら
\maru2\,\,\left(\log_a{x}\right)'=\dfrac{1}{x\log a}\, \, (a>0, a\neq1)
特にa=eなら\maru1と一致する。
\maru3\,\,\left(\log|x|\right)'=\dfrac1x
\maru4\,\,\left(\log_a{|x|}\right)'=\dfrac{1}{x\log a}\, \, (a>0, a\neq1)
特にa=eなら\maru3と一致する。
【合成関数の場合の公式】
\maru5\,\,\left\{\log|f(x)|\right\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\maru6\,\,\left\{\log_a|f(x)|\right\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)\log a}
特にa=eなら\maru5と一致する。

指数関数の導関数

【基本公式】
\maru1\,\,\left(e^x\right)'=e^x 証明はこちら
\maru2\,\,\left(a^x\right)'=a^x\log a\, \, (a>0, a\neq1) 証明はこちら
特にa=eなら, \maru1と一致する。
\maru3\,\,\left(x^n\right)'=n x^{n-1}\,\,(nは実数)
【合成関数の場合の公式】
\maru4\,\,\left\{e^{f(x)}\right\}'=e^{f(x)}\cdot f'(x)
\maru5\,\,\left\{a^{f(x)}\right\}'=a^{f(x)}\log a\cdot f'(x)
特にa=eなら, \maru4と一致する。

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