高校数学：数III微分：なぜlogxを微分すると1/xになるか

2023年3月15日2023年3月19日

こんにちは。今回は $\log x$ の微分について書いておきます。これは導出できるようにしておきましょう。それではどうぞ。

logxを定義にしたがって微分する

$\log x$ を導関数の定義にしたがって微分すると,
$\begin{array}{lll}(\log x)'&=&\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{\log(x+h)-\log x}{h}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{1}{h}\log\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\&=&\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{h}\log\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\&=&\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{1}{x}\cdot\log\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}\\&=&\dfrac{1}{x}\cdot\log e\\&=&\dfrac{1}{x}\end{array}$
以上です。

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