高校数学：数III微分：なぜtanxを微分すると1/cos²xになるか

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こんにちは。今回は $\tan x$ の微分について書いておきます。証明は $\tan x$ をそのままでやる場合と, $\tan x$ を $\sin x, \cos x$ を用いてやる場合の2通りを書いておきます。それではやっていきましょう。

tanの加法定理を用いる場合

$\tan x$ を導関数の定義にしたがって微分すると,
$(\tan x)'=\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan (x+h)-\tan x}{h}\cdots\maru1$
となり, 分子の $\tan (x+h)$ に加法定理を用いると,
$\tan (x+h)=\dfrac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}$ となり, これを $\maru1$ に代入すると,
$\begin{array}{lll}(\tan x)'&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x}{h}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan x+\tan h-\tan x(1-\tan x\tan h)}{h(1-\tan x\tan h)}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan h(1+\tan^2 x)}{h(1-\tan x\tan h)}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan h}{h}\cdot\dfrac{1+\tan^2x}{1-\tan x\tan h}\\&=&1\cdot\dfrac{1+\tan^2x}{1-0}\\&=&1+\tan^2x\\&=&\dfrac{1}{\cos^2x}\end{array}$
となる。

tanの加法定理を用いない場合

$\tan x$ を導関数の定義にしたがって微分すると,
$(\tan x)'=\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan (x+h)-\tan x}{h}\cdots\maru1$
$\maru1$ の分子を $\sin x, \cos x$ を用いて計算してみると,
$\begin{array}{lll}\tan (x+h)-\tan x&=&\dfrac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)}-\dfrac{\sin x}{\cos x}\\&=&\dfrac{\sin(x+h)\cos x-\cos(x+h)\sin x}{\cos x\cos(x+h)}\cdots\maru2\end{array}$
$\maru2$ の分子に加法定理の逆を用いると,
$\sin(x+h)\cos x-\cos(x+h)\sin x=\sin(x+h-x)=\sin h\cdots\maru3$
$\maru2, \maru3$ から,
$\tan (x+h)-\tan x=\dfrac{\sin h}{\cos x\cos(x+h)}\cdots\maru4$
$\maru4$ を $\maru1$ に代入すると,
$\begin{array}{lll}(\tan x)'&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan (x+h)-\tan x}{h}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{1}{\cos x\cos(x+h)}\\&=&1\cdot\dfrac{1}{\cos x\cos(x+0)}\\&=&\dfrac{1}{\cos^2x}\end{array}$
となる。