TikZ:高校数学:ベクトル・3点が一直線上にある条件

こんにちは。今回は3点が一直線上にある条件を書いておきます。

3点が一直線上にある条件

異なる2点\mathrm{A}, \mathrm{B}があるとする。
3点\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}が一直線上にある。
\Longleftrightarrow\bekutoru{AC}=k\bekutoru{AB}となる実数kがある。

例題

【例】△\mathrm{ABC}において, 辺\mathrm{AB}を1 : 2に内分する点を\mathrm{P}, 辺\mathrm{BC}を3 : 1に外分する点を\mathrm{Q}, 辺ACを3 : 2に内分する点を\mathrm{R}とする。このとき次の問いに答よ。
(1) \bekutoru{AP}, \bekutoru{AQ}, \bekutoru{AR}\bekutoru{AB}, \bekutoru{AC}を用いて表せ。
(2) 3点\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}は一直線上にあることを示せ。

【解答例】

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(1) 問題文から,
\bekutoru{AP}=\dfrac{1}{1+2}\bekutoru{AB}=\dfrac13\bekutoru{AB}
\bekutoru{AQ}=\dfrac{-1\cdot\bekutoru{AB}+3\cdot\bekutoru{AC}}{3-1}=\dfrac{-\bekutoru{AB}+3\bekutoru{AC}}{2}
\bekutoru{AR}=\dfrac{3}{3+2}\bekutoru{AC}=\dfrac{3}{5}\bekutoru{AC}
(2) (1)より,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{PQ}}&=&\overrightarrow{ \mathstrut \text{AQ}}-\overrightarrow{ \mathstrut \text{AP}}\\&=&\dfrac{-\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}+3\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}}{2}-\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}\\&=&\dfrac{-5\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}+9\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}}{6}\cdots\maru1\end{array}
\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{PR}}&=&\overrightarrow{ \mathstrut \text{AR}}-\overrightarrow{ \mathstrut \text{AP}}\\&=&\dfrac35\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}-\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}\\&=&\dfrac{-5\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}+9\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}}{15}\cdots\maru2\end{array}
\maru1, \maru2より,
\bekutoru{PR}=\dfrac{6}{15}\bekutoru{PQ}=\dfrac25\bekutoru{PQ}
よって, 3点\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}は一直線上にある。

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