TikZ:高校数学:平面ベクトル・三角形の重心の位置ベクトル

こんにちは。今回は三角形の重心の位置ベクトルについて書いておきます。

三角形の重心の位置ベクトル

3点\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a}), \mathrm{B}(\overrightarrow{ \mathstrut b}), \mathrm{C}(\overrightarrow{ \mathstrut c})を頂点とする△\mathrm{ABC}の重心を\mathrm{G}(\overrightarrow{ \mathstrut g})とすると,
\overrightarrow{ \mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{3}=\dfrac{\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}}{3}

証明

下図のような△\mathrm{ABC}において, \mathrm{G}は重心で, 位置ベクトルを\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a}), \mathrm{B}(\overrightarrow{ \mathstrut b}), \mathrm{C}(\overrightarrow{ \mathstrut c}), \mathrm{G}(\overrightarrow{ \mathstrut g})とすれば, \mathrm{BC}の中点\mathrm{M}の位置ベクトルは\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{2}であり, このとき, 重心\mathrm{G}の位置ベクトルは, \bekutoru{OG}=\dfrac{\bekutoru{OA}+2\bekutoru{OM}}{1+2}=\dfrac{\bekutoru{OA}+2\bekutoru{OM}}{3}であるから,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut g}&=&\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+2\cdot\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{2}}{3}\\&=&\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{3}\end{array}
以上より,
\overrightarrow{ \mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{3}=\dfrac{\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}}{3}
が成り立つ。

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また, 点\mathrrn{O}と点\mathrm{G}を一致させて考えた場合, \overrightarrow{ \mathstrut g}=\bekutoru{GG}=\overrightarrow{ \mathstrut 0}になり, このとき, 等式の関係から, \bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}}=\bekutoru{GA}+\bekutoru{GB}+\bekutoru{GC}}\overrightarrow{ \mathstrut 0}になる。つまり,
\bekutoru{GA}+\bekutoru{GB}+\bekutoru{GC}}=\overrightarrow{ \mathstrut 0}
が成り立つ。

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