TikZ:高校数学:ベクトル・空間の座標の基本

こんにちは。今回は空間の座標に関して書いておきます。

空間座標

空間において, 原点Oで互いに直交する3本の数直線を定め, それらをx軸, y軸, z軸と呼ぶことにする。この3本をまとめて座標軸という。図のように, 2本の座標軸がつくる平面をそれぞれxy平面, yz平面, zx平面と呼び, まとめて座標平面という。

空間内の点Pに対し, 点Pを通り各座標平面に平行な平面がx軸, y軸, z軸と交わる点の座標軸上での座標をそれぞれ, a, b, cとすると, これらは順に点Pのx座標, y座標, z座標となり, まとめて, 点Pの座標を(a, b, c)と表す。

空間内でx座標がaである点の集合は, 点(a, 0, 0)を通り, yz平面に平行な平面である。これを式で表すと, x=aであり, これをこの平面の方程式という。同様にy座標がbである点の集合を表す平面の方程式は, zx平面に平行な平面でy=b, z座標がcである点の集合を表す平面の方程式は, xy平面に平行な平面でz=cとなる。

2点間の距離

中学生でも履修した三平方の定理を使って, 2点間の距離を求める。
点A(x_1, y_1, z_1), 点B(x_2, y_2, z_2)とすると,
線分ABの長さは図のような直方体の対角線と捉えることができるので,
\text{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
ちなみに直方体の縦, 横, 高さの3辺はそれぞれ, |x_2-x_1|, |y_2-y_1|, |z_2-z_1|となる。

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