TikZ：高校数学：台形を用いた加法定理の証明

こんにちは。いろいろ勉強して覚えたことです。忘備録として書いておきます。意外と覚えやすい証明方法ですので, ご参考にしてください。

直角三角形の斜辺が脚になりちょうど入る台形を考える

斜辺ABの長さが1の直角三角形AEBがあり, それが図のように台形ABCDにちょうど収まっているとする。点Eは辺CD上にある。また, $\kaku{ADC}=\kaku{BCD}=90\Deg$ , $\kaku{ABE}=\alpha$ , $\kaku{EBC}=\beta$ とする。

このとき, $\mathrm{AE}=\sin\alpha$ , $\mathrm{BE}=\cos\alpha$ と表せ, △EBCで, BC, ECを $\beta$ を使って表すと, $\mathrm{BC}=\cos\alpha\cos\beta$ , $\mathrm{EC}=\cos\alpha\sin\beta$ と表せる。また, △EBC∽△AEDであるから, $\kaku{AED}=\beta$ となり, 同様に, △AEDでED, ADを $\beta$ を用いて表すと, $\mathrm{ED}=\sin\alpha\cos\beta$ , $\mathrm{AD}=\sin\alpha\sin\beta$ と表せる。
ここで, 図のように, 点Aから下底へ垂線AFを引くと, 直角三角形ABFができる。このとき, $\kaku{ABF}=\alpha+\beta$ になっていることに着目すると, $\mathrm{AB}=1$ なので,
$\sin(\alpha+\beta)=\mathrm{AF}=\mathrm{ED}+\mathrm{EC}$
$\cos(\alpha+\beta)=\mathrm{BF}=\mathrm{BC}-\mathrm{AD}$
これより,
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\cdots\maru1$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\cdots\maru2$
が得られる。
$\maru1$ , $\maru2$ で $\beta$ の部分を $-\beta$ に書き換えると, $\cos(-\beta)=\cos\beta$ , $\sin(-\beta)=-\sin\beta$ であるから,
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\cdots\maru3$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cdots\maru4$
が得られる。
最後に, $\tan$ の加法定理は, $\maru1$ ～ $\maru4$ より,
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\pm\beta\right)}{\cos\left(\alpha\pm\beta\right)}\cdots\textcircled{\scriptsize 5}$
これまでの証明を利用すると, $\textcircled{\scriptsize 5}$ は次のように書き換えることができる。
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}$
右辺の分子分母を $\cos\alpha\cos\beta$ で割ると,
$\begin{array}{lll}\tan\left(\alpha\pm\beta\right)&=&\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\cancel{\cos\beta}}\pm\dfrac{\cancel{\cos\alpha}\sin\beta}{\cancel{\cos\alpha}\cos\beta}}{1\mp\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\&=&\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\end{array}$
以上より,
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
このような感じで加法定理が証明できる。
案外覚えやすいので, 覚えられるなら覚えておいた方がいいと思う。

加法定理

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$