高校数学:数学的帰納法と漸化式の解法

こんにちは。帰納法の解法を例題を解きながら見ていきましょう。

漸化式を利用して解く

【例】a_1=3,\ a_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2-1}{n+1}\ (n=1, 2, 3,\cdots)で定められる。数列\{a_n\}の一般項を予測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。
【解法】n=1のとき,
a_2=\dfrac{{a_1}^2-1}{1+1}=\dfrac{9-1}{2}=4
a_3=\dfrac{{a_2}^2-1}{2+1}=\dfrac{16-1}{3}=5
a_4=\dfrac{{a_3}^2-1}{3+1}=\dfrac{25-1}{4}=6
以上より, 数列\{a_n\}の一般項はa_n=n+2と予測できる。\cdots\maru1
これを数学的帰納法で証明すると,
n=1のとき, a_1=1+2=3で成り立つ。
n=k\maru1が成り立つとすると,
a_k=k+2が成り立ち,
n=k+1のとき,
\begin{array}{lll}a_{n+1}&=&\dfrac{(k+2)^2-1}{k+1}\\&=&\dfrac{k^2+4k+3}{k+1}\\&=&\dfrac{(k+3)\bcancel{(k+1)}}{\bcancel{k+1}}\\&=&k+3\\&=&(k+1)+2\end{array}
よって, n=k+1のときも成り立つ。
したがって, 数学的帰納法により, すべての自然数において, a_n=n+2であることが示された。
つまり, 数列\{a_n\}の一般項はn+2

帰納法と漸化式
一般項を予測し, 予測した一般項を漸化式に代入してn=k+1のとき成り立つことを示す。

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