高校数学:数学的帰納法と等式の証明

こんにちは。今回は数列に登場する和の公式を例題として証明していきます。

n=k+1番目の項を両辺に加えて変形

【例】自然数nに対して,
1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac16n(n+1)(2n+1)
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
【解法】n=1のとき,
1=\dfrac16\cdot1\cdot2\cdot3=1で成り立つ。
n=kのとき, 与式の等式が成り立つとすると,
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\dfrac16k(k+1)(2k+1)
n=k+1のとき, 両辺に(k+1)^2を加えると,
\begin{array}{lll}1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2&=&\dfrac16k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2\\&=&\dfrac16(2k^3+3k^2+k)+k^2+2k+1\\&=&\dfrac13k^3+\dfrac12k^2+\dfrac16k+k^2+2k+1\\&=&\dfrac13k^3+\dfrac32k^2+\dfrac{13}{6}k+1\\&=&\dfrac16(2k^3+9k^2+13k+6)\\&=&\dfrac16(k+1)(k+2)(2k+3)\\&=&\dfrac16(k+1)\{(k+1)+1\}\{2(k+1)+1\}\end{array}
よって, n=k+1のときも成り立つ。
したがって, すべての自然数に対して題意は成り立つ。

【結論が予測しやすい】n=k+1において, 与式の右辺が\dfrac16(k+1)\{(k+1)+1\}\{2(k+1)+1\}, つまり, \dfrac16(k+1)(k+2)(2k+3)なることは予測できます。したがって, そうなるように持ち込んでけばよい。今回は両辺に左辺のk+1番目の項を加えることで解決しています。今回証明で因数分解を行っていますが, 因数定理とたすき掛けを用いて行っています。因数定理で適当な値が見つからなければ, 結果\left\{\dfrac16(k+1)(k+2)(2k+3)\right\}から予測してもいいでしょう。

帰納法と等式の証明
結論として, 題意の等式の右辺の式において, n=k+1としたときの式を導ければよい。基本的には, 左辺のn=k+1番目の項を両辺に加えて, 式変形していけばよい。

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