高校数学:数学的帰納法と等式の証明の解法

こんにちは。今回は帰納法と不等式の問題をやってみます。例題を見ながらいきましょう。

移行して大小比較

【例】すべての自然数に対して,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\leqq2-\dfrac{1}{n}
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
【解法】n=1のとき,
\dfrac{1}{1^2}\leqq2-\dfrac{1}{1}より, 1=1で成り立つ。
n=kのとき, 与式の不等式が成り立つと仮定すると,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}\leqq2-\dfrac{1}{k}
n=k+1のとき,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k+1}
として, 左辺を右辺に移項すると,
2-\dfrac{1}{k+1}-\left\{\underline{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\right\}\cdots\maru1
>2-\dfrac{1}{k+1}-\left(2-\dfrac{1}{k}\right)-\dfrac{1}{(k+1)^2}
=-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{(k+1)^2}
=\dfrac{-k(k+1)+(k+1)^2-k}{k(k+1)^2}
=\dfrac{1}{k(k+1)^2}>0
となり, n=k+1において,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k+1}
が成り立つ。したがって, すべての自然数に対して, 題意は成り立つ。
【ここでのコツ】\maru1の下線部は題意の不等式から2-\dfrac{1}{k}で置き換えられるのですが, 下線部より2-\dfrac{1}{k}の方が大きいので, 次の行の左側に>が付いています。下線部より大きな値を引いても0より大きい事が言えるので, すべての自然数に対して成り立つ事が言える。

帰納法と不等式
n=k+1のときの不等式で, 小さい方を大きい方に移行して, 移行したものの一部を元の不等式の大きい方で置き換えて, 大小比較を行う。

同じものを加えて大小比較

次の解法もありだと思うのだが, どうなんだろう。
【解法】上の解法と違うところから書いておきます。
n=k+1のとき, 両辺に\dfrac{1}{(k+1)^2}を加えると,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{(k+1)^2}
このとき, 右辺と2-\dfrac{1}{k+1}の大小を比較すると,
2-\dfrac{1}{k+1}-\left\{2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\right\}
=-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{(k+1)^2}
=\dfrac{-k(k+1)+(k+1)^2-k}{k(k+1)^2}
=\dfrac{1}{k(k+1)^2}>0
よって,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{(k+1)^2}<2-\dfrac{1}{k+1}
このことからn=k+1のときも成り立つ。
したがって, すべての自然数に対して題意の不等式は成り立つ。
【ここでのコツ】等式の証明のときのように, 両辺に同じものを加え, その加えたものと, 大きい方のk+1番目の数との大小を比較してk+1番目の方が大きいので, その結果, 小さい方の数はやはり小さかったという結論に至る。

帰納法と不等式
n=k+1のときの不等式で, 両辺に同じものを加えて, 大きい方の式をn=k+1番目の式との大小比較を行う。

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