TikZ:高校数学:解法のテクニック・定数分離の解法

こんにちは。今回は定数分離を用いた解法のご紹介です。例題を解きながら見ていきましょう。

定数分離の解法

【例】xについての3次方程式x^3-3x^2-a=0の異なる実数解の個数を調べよ。
【解法】与式の方程式における-aを右辺に移項(定数分離)する。
x^3-3x^2=aとすると, これは関数y=x^3-3x^2\cdots\maru1y=a\cdots\maru2のグラフの交点を求めていることに帰着する。
したがって, \maru1のグラフを描いて, \maru2との交点の個数を調べることで, 異なる実数解の個数がわかるという仕組みになっている。 2つのグラフを描いてみると,

Rendered by QuickLaTeX.com


赤の線のとき, グラフの交点は3つあり, 異なる実数解は3個あることがわかり,
青の線のとき, グラフの交点は2つあり, 異なる実数解は2個あることがわかり,
緑の線のとき, グラフの交点は1つあり, 異なる実数解は1個あることがわかる。
したがって, 求めるaの範囲は,
-4<a<0のとき, 異なる実数解は3個,
a=-4, 0のとき, 異なる実数解は2個,
a<-4, a>0のとき, 異なる実数解の個数は1個

定数分離の応用問題

【例】関数y=x^3に点(2, a)から異なる接線が3本引けるようなaの範囲を求めよ。
【解法】接線なので, 関数を微分して接線を求める作業をします。接点の座標は, 関数上の点(t, t^3)とします。
y'=3x^2より接線の方程式は,
y=3t^2(x-t)+t^3
よって, y=3t^2x-2t^3が接線の方程式となる。
これが, (2, a)を通るので,
a=6t^2-2t^3
となり, このtの3次方程式が異なる3つの実数解(接点が3つ)を持てばよいので,
y=-2t^3+6t^2, y=aのグラフを描いてaの範囲を求めると,
0<a<8

Rendered by QuickLaTeX.com


定数分離の基本解法
基本的には定数部と変数部(関数部)に分けて, 2つのグラフの交点の個数を調べる。
比較的頻出の技なので, 使いこなせた方がよい。


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)