高校数学：順列：重複順列(東北学院大学)

こんにちは。いい問題だと思うのでやっていきましょう。

2020東北学院大学

【問題】T, G, Uの3種類の文字を重複を許して一列に5個並べる。以下の問いに答えよ。
(1) Uが現れない並べ方は何通りあるか。
(2) Tが3個以上現れる並べ方は何通りあるか。
(3) 連続した3文字TGUが現れない並べ方は何通りあるか。
【東北学院大学】

解答例

【解答例】
(1) Uが現れない $\to$ Uを使わないで並べる
T, Gの2枚で重複を許して5個並べる $\to2^5=32$
32通り $\cdots$ (答)
(2)
$\maru1$ Tが3つの場合, T, T, Tの3枚は決まっているので選び方はそれぞれ1通り, 残りのカード2枚はT以外の2通りずつ選び方がある。
イメージ：T, T, T, (2通り), (2通り)
このとき, T以外の2枚のカードの配置の方法は $_5\mathrm{C}_2=10$ 通り。
したがってこの場合 $2\times2\times10=40$ 通り
$\maru2$ Tが4つの場合, T, T, T, Tの4枚は決まっているので選び方はそれぞれ1通り, 残りのカード1枚はT以外の2通りの選び方がある。
イメージ：T, T, T, T, (2通り)
このとき, T以外の1枚のカードの配置の方法は $_5\mathrm{C}_1=5$ 通り。
したがってこの場合 $2\times5=10$ 通り
$\maru3$ Tが5つの場合, T, T, T, T, T $\to$ 1通り
以上より
$40+10+1=51$ (通り)
51通り $\cdots$ (答)
(3) TGUの選び方は1通りで, TGUの3枚を1つのカードXとして考える。
このとき,
X(3通り)(3取り), $\,$ (3通り)X(3通り), $\,$ (3通り)(3通り)X
の3通りの並び方が考えられ, それぞれ $3\times3=9$ 通りの並べ方があるので,
$9\times3=27$ (通り)
したがって,
$3^5-27=243-27=216$ (通り)
216通り $\cdots$ (答)

2020東北学院大学

解答例

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