高校数学：数C複素数：虚軸を動くとき・実軸を動くときの式変形

こんにちは。複素数の所では有名な考え方ですので, しっかりと身に付けておきましょう。例題を解きながら見ていきましょう。最後に入試問題おいてますのでリンクからたどってやってみてください。

例題

【例題】2つの複素数 $\, \omega, z$ が $\omega=\dfrac{iz}{z-2}$ を満たしている。ただし, $i$ は虚数単位とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 複素数平面上で点 $z$ が虚軸上を動くとき, 点 $\omega$ はどのような図形を描くか。
(2) 複素数平面上で点 $\omega$ が実軸上を動くとき, 点 $z$ はどのような図形を描くか。

方針

【(1)の方針】
$z$ が虚軸上を動く $\to z=-\overline{z}$ が成り立つので, これを用いて式変形
例えば $z=2i$ なら, $-\overline{z}=-(-2i)=2i$ となり $z$ と等しい。
【(2)の方針】
$\omega$ が実軸上を動く $\to \omega=\overline{\omega}$ が成り立つので, これを用いて式変形
例えば $\omega=3$ なら, $\overline{\omega}=3$ となり $\omega$ と等しい。
この2点が攻略のカギになる。

解答例

【解答例】
(1) $\omega=\dfrac{iz}{z-2}$ より,
$\omega(z-2)=iz$
$\omega z-2\omega=iz$
$z(\omega-i)=2\omega$
$z=\dfrac{2\omega}{\omega-i}$
$\omega\neqi$ として, $z=-\overline{z}$ より,
$\dfrac{2\omega}{\omega-i}=-\dfrac{2\overline{\omega}}{\overline{\omega}+i}$
$2\omega(\overline{\omega}+i)=-2\overline{\omega}(\omega-i)$
$4\omega\overline{\omega}+2\omega i-2\overline{\omega}i=0$
両辺4で割って
$\omega\overline{\omega}+\dfrac12\omega i-\dfrac12\overline{\omega} i=0$
$\left(\omega-\dfrac12i\right)\left(\overline{\omega}+\dfrac12i\right)=\dfrac14$
$\left|\omega-\dfrac12i\right|=\dfrac12$
よって, 中心 $\dfrac12i$ , 半径 $\dfrac12$ の円。ただし, $i$ を除く。
(2) $\omega=\dfrac{iz}{z-2}$ より,
$\omega=\overline{\omega}$ なので,
$\dfrac{iz}{z-2}=-\dfrac{i\overline{z}}{\overline{z}-2}$
両辺 $i$ で割って整理する。
$z(\overline{z}-2)=-\overline{z}(z-2)$
$2z\overline{z}-2z-2\overline{z}=0$
両辺2で割って
$z\overline{z}-z-\overline{z}=0$
$(z-1)(\overline{z}-1)=1$
$\left|z-1\right|=1$
よって, 中心1, 半径1の円。ただし, 2を除く。

解法のコツ

$\maru1$ $z$ が虚軸上を動く $\to z=-\overline{z}$ が成り立つので, これを用いて式変形
例えば $z=2i$ なら, $-\overline{z}=-(-2i)=2i$ となり $z$ と等しい。

$\maru2$ $z$ が実軸上を動く $\to z=\overline{z}$ が成り立つので, これを用いて式変形
例えば $z=3$ なら, $\overline{z}=3$ となり $z$ と等しい。

この2点が攻略のカギになる。