TikZ：中学数学：R5年(2023年)徳島県中3第2回基礎学力テスト(平面図形)

こんにちは。今回の基礎学ですが, 難しかったですか？難しいと見えた方は練習量が足りていないんでしょうね。ここのサイトで繰り返し練習を積んでみてください。今回は平面図形の問題を解説してみたいと思います。

問題

下の図の, $\bigtriangleup{\text{ABC}}$ は $\text{CA}=\text{CB}$ の二等辺三角形である。点Aを通り辺BCに平行な直線をひき, その直線上に $\text{AC}=\text{AD}$ となる点D, $\text{CA}=\text{CE}$ となる点Eをとる。
点Cと点D, Eをそれぞれ結び, CDとAB, CEとABとの交点をそれぞれF, Gとする。
次の(1)～(3)に答えなさい。

(1) $\bigtriangleup{\text{ADF}}\equiv\bigtriangleup{\text{BCF}}$ を証明しなさい。
(2) $\kaku{DAF}=a\Deg$ のとき, $\kaku{DCE}$ の大きさを $a$ を用いた式で表しなさい。
(3) 点Eと点Bを結ぶ。 $\text{AD} : \text{DE} = 2 : 1$ , $\text{FG} : \text{GB} = 1 : 4$ のとき, 四角形BCAEの面積は, $\bigtriangleup{\text{CFG}}$ の面積の何倍であるか求めなさい。
【2023年徳島県中3第2回基礎学力テスト】

(1)
$\bigtriangleup{\text{ADF}}$ と $\bigtriangleup{\text{BCF}}$ で
仮定より,
$\text{AD}=\text{BC}\cdots\maru1$
$\text{AD//BC}$ より, 錯角は等しいので,
$\kaku{FAD}=\kaku{FBC}\cdots\maru2$
$\kaku{FDA}=\kaku{FCB}\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ より,
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので,
$\bigtriangleup{\text{ADF}}\equiv\bigtriangleup{\text{BCF}}$
(2)

$\kaku{DAF}=\kaku{CBF}=a$ ((1)の証明から)
$\kaku{CBF}=\kaku{CAB}=a$ ( $\text{CA=CB}$ より)
これより,
$\kaku{CAD}=2a=\kaku{CED}$ ( $\text{CA=CE}$ より)
$\text{EA//BC}$ より錯角は等しいので,
$\kaku{CED}=\kaku{ECB}=2a\cdots\maru1$
ここで $\bigtriahgleup{\text{ACD}}$ は二等辺三角形で, 直線AFは頂角の二等分線なので,
$\kaku{AFC}=90\Deg$
$\bigtriangleup{\text{AFC}}$ で, $\kaku{CAF}=a$ より,
$\kaku{ACF}=90-a$
また, $\bigtriangleup{\text{ABC}}$ は頂角が $\kaku{ACB}$ で $\kaku{AFC}=90\Deg$ より,
直線CFは頂角の二等分線である。
したがって, $\kaku{ACF}=\kaku{BCF}=90-a\cdots\maru2$
$\maru1, \maru2$ より,
$\kaku{DCE}=\kaku{BCF}-\kaku{ECB}=90-a-2a=90-3a$
$(90-3a)\Deg\cdots$ (答)
(3)

EとB, DとBを結ぶ。
(2)から四角形ACBDはひし形である。したがって, 対角線で区切られた4つの三角形の面積はすべて等しい。また, 対角線はそれぞれの中点で交わる。 $\text{FG : GB = 1 : 4}$ のとき, $\text{FA}=5(1+4)$ なので, $\text{GB : FG : FA = 4 : 1 : 5}$ である。高さの等しい三角形の面積の比は底辺の長さの比に等しいので, $\sankaku{BCG}$ , $\sankaku{CFG}$ , $\sankaku{ACF}$ の面積比は,
$\bigtriangleup{\text{BCG}} : \bigtriangleup{\text{CFG}} : \bigtriangleup{\text{ACF}} = 4 : 1 : 5$
したがって, $\bigtriangleup{\text{ADF}}=\bigtriangleup{\text{DBF}}=\bigtriangleup{\text{ACF}}=\sankaku{BCF}=5$
$\text{AD : DE = 2 : 1}$ で $\bigtriangleup{\text{ADB}}=10(5+5)$ なので, $\bigtriangleup{\text{BDE}}=5$
以上より, 四角形BCAEは25, $\bigtriangleup{\text{CFG}}=1$ であるから,
$25\div1=25$
25倍 $\cdots$ (答)

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