中学数学：R5年(2023年)徳島県中3第2回基礎学力テスト(二次方程式の文章題)

こんにちは。よくある問題ですね。典型問題なので落としたくないですね。それではどうぞ。

問題

【問題】公園の空き地に正方形の形をした花だんをつくる予定である。下の図のように, その花だんの中に, 幅3mの通路をつくると, 花を植える部分の面積の合計は60m $^2$ になる。次の(1)・(2)に答えなさい。

(1) 次の $\maru1, \maru2$ に答えなさい。
$\maru1$ この正方形の花だんの1辺の長さを $x\, \text{m}$ とすると, 通路の面積を $x$ を用いた式で表しなさい。
$\maru2$ この正方形の花だんの1辺の長さを求めなさい。
(2) 当初予定していた花だんより広くつくることに変更した。下の図のように, 花だんの形は変わらず正方形とし, その花だんの中には, 幅2mの通路をつくることにした。このようにすると, 花を植える部分の面積の合計は $\text{120\, m}^2$ になる。このとき, この正方形の花だんの1辺の長さを求めなさい。

【2023年徳島県第2回基礎学力テスト】

解答・解説

(1)
$\maru1$ この手の問題は通路をずらして考えると考えやすくなる。
以下の図のように通路を右と下に寄せる。

通路は長方形の形をしており, 縦横は3m, $x$ mである。それが2つあるので面積の合計は $3x\times2=6x(\text{m}^2)$ となるが, 図の赤い1辺3mの正方形の部分は2つの長方形の重なり部分であるため $6x\text{m}^2$ から1回引かなくてはならない。よって, 求める面積は,
$6x-9\,\text{m}^2\cdots$ (答)
$\maru2$
上の青色の部分は正方形で, 1辺は $(x-3)\,\text{m}$ である。その面積が $60\text{m}^2$ なので,
$(x-3)^2=60$ という方程式ができる。
これを解くと, $x=3\pm2\sqrt{15}$ となるが, 1辺は通路の幅より長くなくてはならないので, $x=3-2\sqrt{15}$ は不適。
よって, 花だんの1辺の長さは,
$3+2\sqrt{15}\,\text{(m)}$
(2)
これも(1)と同様に通路を右と下に寄せると, 下図のようになる。ただし, 花だんの1辺は $x\,\text{m}$ とする。