TikZ：中学数学：R5年(2023年)徳島県中3第2回基礎学力テスト(関数)

こんにちは。これもしっかりと得点源にしたいパターンが目白押しの問題ですね。

問題

下の図で, グラフ $\maru1$ は関数 $y=\dfrac23x^2$ のグラフで, グラフ $\maru2$ は関数 $y=-\dfrac14x^2$ のグラフである。グラフ $\maru1$ 上に $x$ 座標が3である点Aをとる。直線 $\ell$ の式は $y=-1$ である。グラフ $\maru2$ と直線 $\ell$ との交点をそれぞれB, Cとする。Bの $x$ 座標は負, Cの $x$ 座標は正である。また, $y$ 軸上に点P $(0, -4)$ をとり, Pを通り, $x$ 軸に平行な直線と関数 $y=-\dfrac14x^2$ との交点をQとする。Qの $x$ 座標は正とする。次の(1)～(4)に答えなさい。

(1) 点Aの座標を求めなさい。
(2) $\bigtriangleup{\text{OCA}}$ の面積を求めなさい。
(3) $\bigtriangleup{\text{OCA}}$ の面積と四角形BPQCの面積の比を最もかんたんな整数の比で表しなさい。
(4) 次の $\maru1, \maru2$ に答えなさい。
$\maru1$ 点Bを通り, 四角形BPQCの面積を二等分する直線の式を求めなさい。
$\maru2$ $x$ 軸上に, 点 $\text{R(6,0)}$ をとり, Rを通る直線が四角形BPQCの面積を二等分するとき, この直線の式を求めなさい。
【2023年徳島県第2回基礎学力テスト】

解答・解説

(1) $y=\dfrac23x^2$ に $x=3$ を代入して, $y=6$
よって,
A $( 3, 6 )\cdots$ (答)
(2) B, Cの座標を求める。
$y$ 座標が $-1$ であるから, $y=-\dfrac14x^2$ で $y=-1$ とすると,
$-\dfrac14x^2=-1$
$x=\pm2$ となり, B $(-2, -1)$ , C $(2, -1)$ となる。

$\bigtriangleup{\text{OCA}}$ の面積は点A, Cから $y$ 軸に垂線をひき, 台形を作って余分な三角形を引けば求まるが, ここでは直線ACを求めてやってみようと思う。
直線ACは2点A $(3, 6)$ , C $(2, -1)$ を通るので, その式は, $y=7x-15$ となり, この直線と $x$ 軸との交点は, $\left(\dfrac{15}{7}, 0\right)$ である。また点Aと点Cの $y$ 軸方向だけ見た場合の距離(高さ)は $7(6-(-1))$ である。したがって, 求める面積は,
$\dfrac{15}{7}\times7\times\dfrac12=\dfrac{15}{2}$
$\dfrac{15}{2}\cdots$ (答)
(3) P $(0, -4)$ より, Qの座標を求める。 $y=-\dfrac14x^2$ で $y=-4$ として, $x\, (x>0)$ を求めると, $x=4$
したがって, Q $(4, -4)$ である。これより, $\text{BC=PQ=4}$ , $\text{BC//PQ}$ であるから, 四角形BPQCは平行四辺形である。この平行四辺形は底辺が4, 高さが3なので, 面積は $4\times3=12$ 。よって求める面積比は,
$\dfrac{15}{2} : 12 \to 5 :8$
$5 : 8\cdots$ (答)
(4)
$\maru1, \maru2$ とも平行四辺形の面積を二等分する直線の式を求める問題である。平行四辺形の面積を二等分する直線は, 必ずと言っていいほど, 対角線の中点を通る。今回もそれである。 $\maru1$ に関して言えば2点B, Qを通る直線でも求められるが, 結局対角線の中点を通っているので, 今回は $\maru1, \maru2$ ともに対角線の中点を求めてから, 問題を解いていこうと思う。
$\maru1$ 対角線の中点の座標は, C $(2, -1)$ , P $(0, -4)$ であるから,
$\left(\dfrac{2+0}{2}, \dfrac{-1+(-4)}{2}\right) \to \left(1, -\dfrac52\right)$
よって, 求める直線の式は, 2点B $(-2, -1), \left(1, -\dfrac52\right)$ を通る直線である。
したがって, $y=-\dfrac12x-2\cdots$ (答)
$\maru2$ 求める直線の式は, 2点 $(6, 0), \left(1, -\dfrac52\right)$ を通る直線である。
したがって, $y=\dfrac12x-3\cdots$ (答)
【補足】 $\maru1, \maru2$ とも座標が分数を含むとき, 直線の式を求めるのは, $y=ax+b$ に通る2点の座標を代入して連立方程式を解いて求めるといいでしょう。

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問題

解答・解説

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