TikZ：高校数学：空間ベクトル：四面体と点Pの位置関係

こんにちは。似たようなことは平面ベクトルでやっています。それの空間版と思っていただくといいと思います。式変形の方法に慣れてください。

問題

【問題】四面体ABCDと点Pが次の関係を満たしているとき, 点Pは四面体の内部にあるか, 外部にあるか示せ。
$\bekutoru{AP}=2\bekutoru{BP}+3\bekutoru{CP}+5\bekutoru{DP}$

解答・解説

【解答・解説】
$\bekutoru{AP}=\bekutorui{p}$ , $\bekutoru{AB}=\bekutorui{b}$ , $\bekutoru{AC}=\bekutorui{c}$ , $\bekutoru{AD}=\bekutorui{d}$ とおくと,
与式は次のようになる
$\bekutorui{p}=2\left(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b}\right)+3\left(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut c}\right)+5\left(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut d}\right)$
これを $\bekutorui{p}$ について解いていくと,
$9\bekutorui{p}=2\bekutorui{b}+3\bekutorui{c}+5\bekutorui{d}$
$\bekutorui{p}=\dfrac19\left(2\overrightarrow{\mathstrut b}+3\overrightarrow{\mathstrut c}+5\overrightarrow{\mathstrut d}\right)$
さらにこれを変形していくと,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\mathstrut p}&=&\dfrac19\left\{5\left(\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut b}+3\overrightarrow{\mathstrut c}}{5}\right)+5\overrightarrow{\mathstrut d}\right\}\\&=&\dfrac59\left\{2\dfrac{\left(\frac{2\overrightarrow{\mathstrut b}+3\overrightarrow{\mathstrut c}}{5}\right)+\overrightarrow{\mathstrut d}}{2}\right\}\\&=&\dfrac{10}{9}\left\{\dfrac{\left(\frac{2\overrightarrow{\mathstrut b}+3\overrightarrow{\mathstrut c}}{5}\right)+\overrightarrow{\mathstrut d}}{2}\right\}\end{array}$
となる。
上記式中の $\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut b}+3\overrightarrow{\mathstrut c}}{5}$ から $\text{BC}$ を $3 : 2$ に内分する点をEとして, $\bekutoru{AE}$ を $\bekutorui{e}$ とすると,
$\bekutorui{e}=\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut b}+3\overrightarrow{\mathstrut c}}{5}$ なので,
$\bekutorui{p}=\dfrac{10}{9}\left\{\dfrac{\left(\frac{2\overrightarrow{\mathstrut b}+3\overrightarrow{\mathstrut c}}{5}\right)+\overrightarrow{\mathstrut d}}{2}\right\}$
は,
$\bekutorui{p}=\dfrac{10}{9}\left(\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut e}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{2}\right)$
と書け, これより, $\text{ED}$ を $1 : 1$ に内分する点をFとすると,
$\bekutorui{p}=\dfrac{10}{9}\bekutoru{AF}$ となり, $\bekutorui{p}$ は $\bekutoru{AF}$ を $\dfrac{10}{9}$ 倍したものなので, $\text{AP}>\text{AF}$ となる。また, これより, 点Pは $\text{AF}$ を $10 : 1$ に外分した点である。
したがって, 点Pは四面体の外部にある。

問題

解答・解説

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