高校数学：空間ベクトル：ベクトルがなす角から他の値を求める

こんにちは。空間ベクトルのなす角のちょっとした応用？問題です。それではいってみましょう。

問題

【問題】大きさ4の $\bekutorui{a}$ が, $x$ 軸の正の向きとなす角が $60\Deg$ で, $y$ 軸の正の向きとなす角が $45\Deg$ のとき, $\bekutorui{a}$ の成分を求めよ。また, $\bekutorui{a}$ が $z$ 軸の正の向きとなす角の大きさを求めよ。

解答・解説

【解答・解説】以下のイメージを参照してください。

これから $x$ 座標は $4\cos60\Deg=2$ , $y$ 座標は $4\cos45\Deg=\dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$ となる。これより,
$\bekutorui{a}=(2, 2\sqrt2, z)$ とおくと, $\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|=4$ より,
$2^2+\left(2\sqrt2\right)^2+z^2=4^2$
$12+z^2=16$
$z=\pm2$
$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut e_z}=(0, 0, 1)$ とする。
$\maru1$ $z=2$ のとき, $\bekutorui{a}=(2, 2\sqrt2, 2)$ より, $\bekutorui{a}$ と $z$ 軸のなす角を $\alpha$ とすると,
$\begin{array}{lll}\cos\alpha&=&\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e_z}}{\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|\left|\overrightarrow{\mathstrut e_z}\right|}\\&=&\dfrac{2}{4\cdot1}\\&=&\dfrac12\end{array}$
$0\Deg\leqq\alpha\leqq180\Deg$ より, $\alpha=60\Deg$
$\maru2$ $z=-2$ のとき, $\bekutorui{a}=(2, 2\sqrt2, -2)$ より, $\bekutorui{a}$ と $z$ 軸のなす角を $\beta$ とすると,
$\begin{array}{lll}\cos\beta&=&\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e_z}}{\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|\left|\overrightarrow{\mathstrut e_z}\right|}\\&=&\dfrac{-2}{4\cdot1}\\&=&-\dfrac12\end{array}$
$0\Deg\leqq\beta\leqq180\Deg$ より, $\beta=120\Deg$
以上より,
$\bekutorui{a}$ は $(2, 2\sqrt2, 2)$ のとき, $z$ 軸の正の向きとなす角は $60\Deg$ , $(2, 2\sqrt2, -2)$ のときは, $z$ 軸の正の向きとなす角は $120\Deg$ である。

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