中学数学：攻略法：角の二等分線のなす角(〇×は数字で置け)

こんにちは。代表的な問題には解法がある。その典型です。それではどうぞ。

よくある解法

下の図1で, $\bigtriangleup{\text{ABC}}$ の $\kaku{B}$ , $\kaku{C}$ の二等分線の交点(内心)のなす角 $x$ を求めなさい。

まずは, 学校で習うだろう解法で解いてみましょう。
$2\bullet+2\times=106\Deg$
だから,
$\bullet+\times=53\Deg$
よって,
$x=180-53=127$
$127\Deg$
生徒：難しい $\cdots$ もっと簡単な方法ないの?

公式を使った解法

実は公式があってね $\cdots$
下の図2のように $a$ 場合, $\angle{x}$ は次の公式で求められるんです。
$x=90\Deg+\dfrac{a}{2}$

これを使うと,
$x=90\Deg+\dfrac{74}{2}=90\Deg+37\Deg=127\Deg$
ほら, 同じ答えになった。公式の証明は後述します。
でも, 実は僕この公式使ったことないんです。公式が覚えられる人は覚えてください。覚えられる人は解法を覚えておくと他の人より, 少し早く答えにたどり着きます。
中学校で必要な公式はそんなに多くはありません。これは無理して覚えなくてもいいです。

最終兵器(裏技)

では公式が覚えられないための人へのリーサルウェポン(最終兵器)です。これで駄目でもこれ以外, 解き方解き方知りません。
では行きましょう。今わかっている角は $74\Deg$ 残りの角の和は
$180\Deg-74\Deg=106\Deg$ です。
これ( $106\Deg$ )を0以外の2つの偶数に分けてください。別に偶数でなくてもいいですが, 途中で小数が出てくる羽目になるので, できれば偶数にしてください。決まりましたか?
$50\Deg$ と $56\Deg$ です。OBとOCは角の二等分線なので, その半分ずつ $25\Deg$ と $28\Deg$ に分けることができますね。 $\bigtriangleup{\text{OBC}}$ で2つの内角が $25\Deg$ と $28\Deg$ になっていますね。ですから求める $\angle{x}$ は
$180\Deg-(25\Deg+28\Deg)=127\Deg$

別に $10\Deg$ と $96\Deg$ でも大丈夫です。半分は $5\Deg$ と $48\Deg$ ですから,
$180\Deg-(5\Deg+48\Deg)=127\Deg$ 同じです。

逆パターンもOK

前のところで $\angle{x}$ が分かっていて, $\angle{a}$ を求める場合でも使えます。

この場合は別に偶数に分けなくても2倍しますので大丈夫です。右の図のように127 $\Deg$ の場合, 残りの角は $53\Deg$ 。図のように $20\Deg$ 、 $33\Deg$ に分けると, それぞれその2倍が $\kaku{ABC}$ , $\kaku{ACB}$ の大きさなので, $\kaku{ABC}=40\Deg$ , $\kaku{ACB}=66\Deg$ となる。
よって,
$\angle{a}=180\Deg-(40\Deg+66\Deg)=74\Deg$
ちなみに, $a$ を求める公式
$a=2x-180\Deg$
【補足】公式の証明

【証明】
$2\bullet+2\times=180\Deg-a\cdots\maru{1}$
$\maru{1}\div2$ より,
$\bullet+\times=90\Deg-\dfrac{a}{2}\cdots\maru{2}$
ここで, $\bigtriangleup{\text{OBC}}$ で,
$x=180\Deg-(\bullet+\times)$
$\maru{2}$ を代入して,
$\begin{array}{lll}x&=&180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{a}{2}\right)\\&=&90^{\circ}+\dfrac{a}{2}\end{array}$
よって,
$x=90\Deg+\dfrac{a}{2}\cdots\maru{3}$
$\maru{3}$ を $a$ について解くと,
$a=2x-180\Deg$