中学数学：研究：面積比が相似比の2乗に比例する理由

こんにちは。面積比は相似比の2乗に比例するという話です。それではどうぞ。

面積比が相似比の2乗になる理由

下の図のような $\sankaku{ABC}$ と $\sankaku{DEF}$ があります。相似比は $a : b$ である。このとき, 面積比が $a^2 : b^2$ となることを証明してみましょう。

以下三角形限定で証明させていただきます。
$a, b$ を自然数, $m, h$ を正の数とし相似比が $a : b$ の三角形の底辺である辺BC, EFをそれぞれ, $am$ , $bm$ , 頂点A, Dから底辺におろした高さを $ah$ , $bh$ とおく。(注：相似比が $a : b$ ということは高さの関係も相似なのでその比は $a : b$ とおける)ここで $\sankaku{ABC}$ , $\sankaku{DEF}$ の面積をそれぞれ $S_1, S_2$ とおくと,
$\begin{aligned}S_1&=\dfrac12 \times am \times ah\\&=\dfrac{a^2mh}{2}\\S_2&=\dfrac12 \times bm \times bh\\&=\dfrac{b^2mh}{2}\\\end{aligned}$
よって面積比 $S_1 : S_2$ は
$\dfrac{a^2mh}{2} : \dfrac{b^2mh}{2} = a^2 : b^2$
従って, 相似比が $a : b$ の三角形の面積比は $a^2 : b^2$ である。三角形なら, 直角二等辺三角形が証明としてはやりやすい。また正方形や円を証明に用いれば, もっとすっきりする。他の多角形の場合はおそらく,三角形の組み合わせで証明できるんじゃないの？ということで今回三角形に特化して証明しました。
ただ, 感覚的に面積の単位cm $^2$ からわかるように, 辺を2回かけることがわかります。すなわち, 相似比が $a : b$ なら, $a$ という割合の辺を2回かける, $b$ という割合の辺を2回かけることから, 面積比は $a^2 : b^2$ と考えてもいいでしょう。

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