TikZ：中学数学：R6(2024)年度徳島県公立高校入試・数学・平面図形

こんにちは。R6年度徳島県の高校入試の数学の平面図形の問題の解説です。それではどうぞ。

平面図形

下の図のように, 円Oの直径AB上に点Cをとり, 点Cを通り直径ABに垂直な直線と円Oとの交点をそれぞれD, Eとする。中心Oと点E, 点Aと点D, 点Aと点E, 点Bと点Eをそれぞれ結ぶ。(1)～(4)に答えなさい。

(1) $\kaku{AEB}$ の大きさを求めなさい。
(2) $\sankaku{AED}$ ∽ $\sankaku{OEB}$ の証明について, (a)・(b)に答えなさい。
(a) $\sankaku{AED}$ ∽ $\sankaku{OEB}$ を証明するために, 次のように $\sankaku{DAC}\equiv\sankaku{EAC}$ を証明した。(　　　)にあてはまる言葉を書きなさい。
【 $\sankaku{DAC}\equiv\sankaku{EAC}$ の証明】
$\sankaku{DAC}$ と $\sankaku{EAC}$ で
ACは共通だから, $\text{AC}=\text{AC}\cdots\maru1$
仮定より, $\kaku{DCA}=\kaku{ECA}=90\Deg\cdots\maru2$
また, 直径ABは弦DEの垂直二等分線だから, $\text{DC}=\text{EC}\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ より, (　　　　　　　　　　)が, それぞれ等しいので, $\sankaku{DAC}\equiv\sankaku{EAC}$

(b) (a)で示したことを用いて, $\sankaku{AED}$ ∽ $\sankaku{OEB}$ を証明しなさい。
(3) $\sankaku{AED}$ と $\sankaku{OEB}$ の相似比が $5 : 3$ であり, $\sankaku{AED}$ の面積が50cm $^2$ であるとき, $\sankaku{AEB}$ の面積を求めなさい。
(4) $\text{AD}=8\text{cm}$ , $\text{BE}=4\text{cm}$ のとき, $\text{AC} : \text{CB}$ を求めなさい。

解答・解説

(1) 半円の弧に対する円周角なので $90\Deg\cdots$ (答)
(2) (a) $\maru1, \maru2, \maru3$ の条件から
2組の辺とその間の角 $\cdots$ (答)
(b) $\sankaku{AED}$ と $\sankaku{OEB}$ で,
$\ko{AE}$ の円周角より,
$\kaku{ADE}=\kaku{OBE}\cdots\maru1$
$\sankaku{DAC}\equiv\sankaku{EAC}$ より,
$\kaku{EAD}=2\kaku{EAB}\cdots\maru2$
$\ko{BE}$ の中心角と円周角の関係より,
$\kaku{EOB}=2\kaku{EAB}\cdots\maru3$
$\maru2, \maru3$ より,
$\kaku{EAD}=\kaku{EOB}\cdots\maru4$
$\maru1, \maru4$ より,
2組の角がそれぞれ等しいので, $\sankaku{AED}$ ∽ $\sankaku{OEB}$
(3) 相似比が $5 : 3$ なので, 面積比は $25 : 9$ 。 $\sankaku{AED}$ の面積が50cm $^2$ なので, $\sankaku{OEB}$ の面積を $x\text{cm}^2$ として求めると,
$25 : 9 = 50 : x \to x = 18$
$\sankaku{AEB}=2\sankaku{OEB}$ なので, 求める面積は, $18\times2=36$
$36\text{cm}^2\cdots$ (答)
(4)
$\sankaku{ADC}$ ∽ $\sankaku{EBC}$ であり, 相似比は $2 : 1$ である。このとき, $\text{CD} : \text{CB}=\maru2 : \maru1$ , かつ, $\text{AC} : \text{EC}=\fbox{\scriptsize 2} : \fbox{\scriptsize 1}$ である。ここで, $\text{CD}=\text{EC}$ であるが, 比の割合が, それぞれ, $\maru2$ と $\fbox{\scriptsize 1}$ で異なるので, それを合わせるために $\fbox{\scriptsize 1}$ の方を $\maru2$ 倍すると, $\text{AC} : \text{EC}=\maru4 : \maru2$ となる。このとき, $\text{AC} : \text{CB}=\maru4 : \maru1$ となるので,
$\text{AC} : \text{CB}=4 : 1\cdots$ (答)
同じ長さなのに比がそろっていない。