TikZ：中学数学：R6(2024)年度徳島県公立高校入試・数学・一次関数

こんにちは。令和6年度の徳島県の入試問題から, 一次関数の問題です。

一次関数の問題

下の図のように, 直線 $y=3x$ 上に点A, 直線 $y=\dfrac12x$ 上に点C, 直線 $y=-x$ 上に点Eがあり, 点Aの $x$ 座標は3である。また, 四角形ABCDと四角形AEFGがともに正方形になるように点B, D, F, Gをとる。ただし, 点Cと点Fの $x$ 座標はともに3より大きく, 辺ABと辺AEはともに $y$ 軸に平行とする。(1)～(4)に答えなさい。
(1) 点Eの座標を求めなさい。
(2) 2点A, Fを通る直線の式を求めなさい。
(3) 正方形ABCDを, 辺ABを回転の軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
(4) 辺FG上に点Pをとり, $\sankaku{OAP}$ の周の長さが最小となるような点Pの座標を求めなさい。

解答・解説

(1) $x=3$ を $y=-x$ に代入して, $y=-3$ 。
よって, $( 3, -3 )\cdots$ (答)
(2) 線分AFは正方形の対角線なので, $x$ の増加量と $y$ の増加量は等しく, 右下がりになっているので, 直線AFの傾きは $-1$ である。したがって, 求める直線は $y=-x+b$ とおくことができ, A(3, 9)を通るので, これを代入し, 切片 $b$ を求めると, $9=-3+b\to b=12$
よって, 求める直線は $y=-x+12\cdots$ (答)
【別解】A(3, 9), E(3, -3)より, $\text{AB}=12$ であるから, $\text{G}(15, 9)$ , $\text{F}(15, -3)$ である。よって求める直線は, A(3, 9), $\text{F}(15, -3)$ を通る直線 $\to y=-x+12$
(3) 回転させたときにできる立体の底面の半径と高さを求めるために, (2)でもとめた直線 $y=-x+12$ と $y=\dfrac12x$ の交点Ｃの座標を求める。 $-x+12-\dfrac12x\to x=8$ , $x=8$ を $y=\dfrac12x$ に代入して $y=4$ 。よって, C( 8, 4 )となる。このことから, $\text{BC}=\text{DC}=5$ なので, 求める立体の体積は, $5^2\times\pi\times5=125\pi$
$125\pi\cdots$ (答)
(4) 直線GFについて, Aと対称になる点Qをとる。 $\text{AG}=\text{GQ}=12$ なので, $\text{Q}(27, 9)$ 。よって, 直線OQの式は $y=\dfrac13x$ 。求める点Pは直線OQと線分GFの交点だから, $y=\dfrac13x$ に $x=15$ を代入して, $y=5$ 。
よって, 点Pの座標は, $\text{P}(15, 5)\cdots$ (答)　下図参照

一次関数の問題

解答・解説

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