高校数学：統計的な推測：定期テスト対策：確率, 期待値, 分散

こんにちは。定期テスト対策です。それではどうぞ。

問題

赤玉3個と白玉2個入った袋から, 3個の玉を同時に取り出すとき, 3個のうち赤玉の個数を $X$ とする。このとき, 確率変数 $3X+2$ の期待値 $E(3X+2)$ , 分散 $V(3X+2)$ を求めよ。
この問いに対して以下の $\mybox{a}$ ～ $\mybox{g}$ を答えよ。
$X$ の取りうる値は, 1, 2, 3であるから,
$P(X=1)=\mybox{a}$ , $P(X=2)=\mybox{b}$ , $P(X=3)=\mybox{c}$ となるので, $X$ の確率分布は次のようになる。
$\begin{array}{c||c|c|c|c} X&1&2&3&total\\ \hline P&\mybox{a}&\mybox{b}&\mybox{c}&1\end{array}$
ゆえに,
期待値 $E(X)=\mybox{d}$ , 分散 $V(X)=\mybox{e}$
となる。
これより,
期待値 $E(3X+2)=\mybox{f}$ , 分散 $V(3X+2)=\mybox{g}$
である。

解答・解説

【解答】
$\mybox{a}=\dfrac{3}{10}$
$\mybox{b}=\dfrac{6}{10}$
$\mybox{c}=\dfrac{1}{10}$
$\mybox{d}=\dfrac95$
$\mybox{e}=\dfrac{9}{25}$
$\mybox{f}=\dfrac{37}{5}$
$\mybox{g}=\dfrac{81}{25}$
【解説】
$X=1$
$\dfrac{_3\text{C}_1\times_2\text{C}_2}{_5\text{C}_3}=\dfrac{3}{10}\cdots\mybox{a}$
$X=2$
$\dfrac{_3\text{C}_2\times_2\text{C}_1}{_5\text{C}_3}=\dfrac{6}{10}\cdots\mybox{b}$
$X=3$
$\dfrac{_3\text{C}_3}{_5\text{C}_3}=\dfrac{1}{10}\cdots\mybox{c}$
$E(X)=\dfrac{3}{10}\times1+\dfrac{6}{10}\times2+\dfrac{1}{10}\times3=\dfrac95\cdots\mybox{d}$
$E(X^2)=\dfrac{3}{10}\times1^2+\dfrac{6}{10}\times2^2+\dfrac{1}{10}\times3^2-E(X)^2=\dfrac{36}{10}$
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\dfrac{36}{10}-\dfrac{81}{25}=\dfrac{9}{25}\cdots\mybox{e}$
$E(3X+2)=3E(X)+2=3\times\dfrac95+2=\dfrac{37}{5}\cdots\mybox{f}$
$V(3X+2)=3^2V(X)=9\times\dfrac{9}{25}=\dfrac{81}{25}\cdots\mybox{g}$

問題

解答・解説

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