TikZ：高校数学：極限：有理化や無理化をすると極限が求まる理由

こんにちは。なぜ分母や分子の有理化や無理化をすると極限が求まるのでしょう。

簡単な例を見ていこう

【例】 $\displaystyle\lim_{n\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ を求めよ。

【解答例】
$\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\cancel{x-4}}{\cancel{(x-4)}(\sqrt{x}+2)}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$
したがって,
$\displaystyle\lim_{n\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\displaystyle\lim_{n\to4}\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{1}{4}$
一般的にこのようにして極限を求めるのですが,
$\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdots\maru1$ では求まらない極限が, $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\cdots\maru2$ になったら求まるのでしょうか。
もちろん $\maru1$ では分子も分母も0になる不定形だからという理由はあるでしょう。ここでは少し視点を変え, $\maru1$ を関数 $f(x)$ , $\maru2$ を関数 $g(x)$ として, グラフで考えてみましょう。
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ , $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ のグラフをかいてみると次のようになります。

このグラフからわかるように, 関数 $f(x)$ は $x=4$ で不連続であるのに対し, 関数 $g(x)$ では $x\geqq0$ で連続になっています。したがって, $x\to4$ で不連続だから, $x\to4$ で連続な関数に直して極限を求めようではないか。そいう意図が分子の有理化にはあるんですね。今回は最終的に $x=4$ で連続だから, $x=4$ を代入して極限を求めることができるということです。有理化, 無理化にはこんな理由が隠されているんですね？

簡単な例を見ていこう

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