高校数学：代入性(代入法)の原理について

こんにちは。結構有名な原理なので知らない人は知っておきましょう。

代入性の原理とは

連立方程式を解いていて, 余計な答えが求まった。そんな経験はありませんか？
例えば以下の連立方程式を解いてみましょう。
$\begin{cases}y=-x+7\ \ \ \ \ \cdots\maru1\\x^2+y^2=25\ \ \ \ \cdots\maru2\end{cases}$
これを解くときに, $\maru1$ を $\maru2$ に代入して,
$x^2+(-x+7)^2=25$
$(x-4)(x-3)=0$ となり,
$x=4, 3$ を得る。
ここまでは, いつも通りなんですが,
この $x$ の値を $\maru1$ に代入するのか, $\maru2$ に代入するのかで, 答えが変わってくるんですよね。
$\maru1$ に代入した場合,
$x=4$ を $\maru1$ に代入すると, $y=-4+7=3$
$x=3$ を $\maru1$ に代入すると, $y=-3+7=4$
よって, 求める解は,
$(x, y)=(4, 3), (3, 4)$ の2解となる。 $\cdots\text{(A)}$
次に $\maru2$ に代入した場合,
$x=4$ を $\maru2$ に代入すると, $y^2=9$ となり, $y=\pm3$ ,
$x=3$ を $\maru2$ に代入すると, $y^2=16$ となり, $y=\pm4$
となる。
よって, 求める解は,
$(x, y)=(4, \pm3), (3, \pm4)$ の4解となる。 $\cdots\text{(B)}$
？？？
どちらが正しいの？ってなりますが, 冷静に考えてみると, $\text{(A)}$ が正しいですね。 $\text{(B)}$ の解には $\maru1$ を満たさないものまで含まれています。
これをきちんと理解していくのが代入性の原理というものです。
同値性を意識して式を見ていきましょう。解 $\text{(A)}$ が求められる場合,
$\begin{cases}y=-x+7\ \ \ \ \ \cdots\maru1\\x^2+y^2=25\ \ \ \ \cdots\maru2\end{cases}$
$\maru1$ を $\maru2$ に代入した場合,
$\begin{cases}y=-x+7\ \ \ \ \ \cdots\maru1\\x^2+(-x+7)^2=25\ \ \ \ \cdots\maru3\end{cases}$
となり, これからこの $\maru1$ , $\maru2$ の組み合わせから, $\maru1$ , $\maru3$ の式は作れますし, 逆もまたいえることができます。すなわち同値性が保たれていることになります。
$\begin{array}{ccc}\begin{cases}y=-x+7\ \ \ \ \ \cdots\maru1\\x^2+y^2=25\ \ \ \ \cdots\maru2\end{cases} &\iff& \begin{cases}y=-x+7\ \ \ \ \, \cdots\maru1\\x^2+(-x+7)^2=25\ \ \ \ \cdots\maru3\end{cases}\end{array}$
しかし,
$\begin{cases}y=-x+7\ \ \ \ \ \cdots\maru1\\x^2+y^2=25\ \ \ \ \cdots\maru2\end{cases}$
$\maru1$ を $\maru2$ に代入し,
$\begin{cases}x^2+y^2=25\ \ \ \ \ \cdots\maru2\\x^2+(-x+7)^2=25\ \ \ \ \cdots\maru3\end{cases}$
とした場合, これからこの $\maru1$ , $\maru2$ の組み合わせから, $\maru2$ , $\maru3$ の式は作れますが, $\maru2$ , $\maru3$ からは, $\maru1$ , $\maru2$ を再現できません。すなわち同値性は保たれていないことになります。
$\maru2$ , $\maru3$ は $\maru1$ , $\maru2$ であるための必要条件になっている。
$\begin{array}{ccc}\begin{cases}y=-x+7\ \ \ \ \ \cdots\maru1\\x^2+y^2=25\ \ \ \ \cdots\maru2\end{cases} &\implies & \begin{cases}x^2+y^2=25\ \ \ \ \ \cdots\maru2\\x^2+(-x+7)^2=25\ \ \ \ \cdots\maru3\end{cases}\end{array}$
このことから, $\maru2$ , $\maru3$ で解いた答えには, 余計なものが含まれている可能性があるため, $\maru1$ に代入して十分性を確認する必要があります。