高校数学：数III積分：瞬間部分積分法(裏技？)

こんにちは。部分積分法の裏技です。私が知ったのは私が高校生のときです。ずいぶん昔からあります。それではやってみましょう。

瞬間部分積分の考え方

$\log x$ の積分を考えるとき, 微分して $\log x$ になる式と言えば, $\log x$ に $x$ (微分したら1になる)をかけた $x\log x$ が思い浮かぶかも知れません。そこで, $x\log x$ を微分してみると,
$(x\log x)'=\log x+x\cdot\dfrac1x=\log x+1\cdots\maru1$
となり, $\log x$ に近い式が得られました。ここで, $x\log x$ を微分して $\log x$ にするためには, $\maru1$ の式で, 1がなくなればいいことになります。そこで, 微分して $-1$ になる式を $x\log x$ に加えてやることで, $\maru1$ の1を消去しようではないか。そう考えてやるのが瞬間部分積分法です。微分して $-1$ になる式は $-x$ なので, $x\log x$ に $-x$ を加えてやり, 微分すると,
$(x\log x-x)'=\log x +1-1=\log x$ となります。
この左辺と右辺を入れ換えると,
$\log x=(x\log x-x)'$ となり, 両辺 $x$ で積分すると,
$\displaystyle\int \log x\, dx=x\log x-x+C$
となるのです。
このように積の微分の結果をもとに, 部分積分の結果を導く方法を瞬間部分積分法と呼んでいます。
もう1つ例をやってみよう。
$x\log x$ の積分はどうなるか考えるとき, 積の微分で $x\log x$ が出現する式といえば, 微分して $x$ になる式を $\log x$ にかければいいので, $\dfrac{x^2}{2}\log x$ が思い浮かぶところです。実際これを微分すると,
$\left(\dfrac{x^2}{2}\log x\right)'=x\log x+\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac1x=x\log x+\dfrac{x}{2}\cdots\maru2$
$\maru2$ の $\dfrac{x}{2}$ がなくなれば, $x\log x$ になるので, 微分して $-\dfrac{x}{2}$ になる式を $x\log x$ に加えればよい。その式は $-\dfrac{x^2}{4}$ なので, これを $x\log x$ に加えて微分してみると,
$\left(\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}\right)'=x\log x+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}=x\log x$
となる。
この左辺と右辺を入れ換えると,
$x\log x=\left(\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}\right)'$
両辺を $x$ で積分して,
$\displaystyle\int x\log x\, dx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$
となる。

e^xsinx系の部分積分

$e^x\sin x$ の部分積分を考える。これには, $e^x\cos x$ も役割を担うことになる。考え方は先と同様に, 積の微分を使って考えていく。
$e^x\sin x$ を $x$ で微分すると,
$(e^x\sin x)'=e^x\sin x+e^x\cos x\cdots\maru1$
$e^x\cos x$ を $x$ で微分すると,
$(e^x\cos x)'=e^x\cos x-e^x\sin x\cdots\maru2$
ここで, $\maru1-\maru2$ をすると,
$2e^x\sin x=(e^x\sin x)'-(e^x\cos x)'$
$e^x\sin x=\dfrac12\{e^x(\sin x-\cos x)\}'$
両辺 $x$ で積分すると,
$\displaystyle\int e^x\sin x\, dx=\dfrac12e^x(\sin x-\cos x)+C$
とこんな感じで部分積分を実現していくのが, 瞬間部分積分法です。
よかったら使ってみてください。