TikZ:中学数学:平面図形:R6北海道高校入試問題大問4(一部略)

こんにちは。まずは解いてみましょう。いい問題ですよ。

北海道

【問題】大地さんは, 四角形ABCDの各辺における4点P, Q, R, Sの取り方に着目し, コンピュータを使って, 図のように, この4点を各辺の辺上で動かしました。
大地さんは, 「\text{AP : PB=CQ : QB=CR : RD=AS : SD=1 : 3}のとき, 四角形PQRSは平行四辺形である」と予想しました。

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次の(1), (2)に答えなさい。
(1) 大地さんの予想が成り立つことを証明しなさい。
(2) 四角形ABCDの対角線BDと, 線分PQ, RSとの交点をそれぞれM, Nとします。\sankaku{APS}の面積が3cm^2であるとき, 四角形PMNSの面積を求めなさい。
ただし, 四角形PQRSは平行四辺形であることがわかっています。

解答・解説

(1) 対角線BDを結ぶ。
仮定より,
\text{AP : PB=AS : SD=1 ; 3}より, \text{PS//BD\cdots\maru1}
\text{CQ : QB=CR : RD=1 : 3}より, \text{QR//BD\cdots\maru2}
\maru1, \maru2より, \text{PS//QR}\cdots\maru3
また, \sankaku{APS}\sankaku{ABD}(2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい)より,
\text{PS}=\dfrac14\text{BD}\cdots\maru4
同様に, \sankaku{CQR}\sankaku{CBD}より,
\text{QR}=\dfrac14\text{BD}\cdots\maru5
\maru4, \maru5より,
\text{PS}=\text{QR}\cdots\maru6
\maru3, \maru6より,
1組の向かい合う辺が等しくて平行なので, 四角形PQRSは平行四辺形である。

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(2) 平行四辺形PMNSは\sankaku{SMN}の2倍として考える。
(1)より\text{PS : BD=1 : 4}であるから, \sankaku{APS}\sankaku{ABD}の面積比は1 : 16である。したがって, \sankaku{ABD}の面積は48cm^2。ここで, \text{PS=MN}より, \text{MN : BD}=1 : 4であるから, \sankaku{SMN}は, \sankaku{SBD}\dfrac14, \sankaku{SBD}\sankaku{ABD}\dfrac34である。
よって, 平行四辺形PMNSの面積は
\sankaku{ABD}\times\dfrac34\times\dfrac14\times2=48\times\dfrac34\times\dfrac14\times2=18
18cm^2\cdots(答)

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