高校数学：剰余の定理：x⁹⁹をx²ｰ1で割ったときの余り

2024年8月29日

こんにちは。早速いってみましょう。

問題

【問題】 $x^{99}$ を $x^2-1$ で割ったときの余りを求めなさい。

解答・解説

【解答】 $x$
【解説】
$x^{99}$ を $x^2-1$ で割ったときの商を $Q(x)$ , 余りを $ax+b$ とおくと,
$x^{99}=(x^2-1)Q(x)+ax+b$
$x^{99}=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b$
$x=1$ のとき,
$1=a+b\cdots\maru1$
$x=-1$ のとき,
$-1=-a+b\cdots\maru2$
$\maru1, \maru2$ より, $a=1, b=0$
したがって, 求める余りは,
$x$