中学数学：研究：なぜ多角形の外角の和は360°なのか

2024年11月10日

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こんにちは。多角形の外角の和はなぜ $360\Deg$ なのか書いておきます。

なぜ360°？

知っておかなければならない事実は以下の2点です。
$\maru1$ 多角形の内角と外角は下図のように一直線上に並んでいるということ。
$\maru2$ $n$ 角形の内角の和は $180\Deg\times(n-2)$ であること。

このことから, 多角形の内角と外角の和は $180\Deg$ になっている。
したがって, $n$ 角形の場合( $n\geqq3$ の自然数)とすると, $($ 内角 $)+($ 外角 $)=180\Deg$ が $n$ 個あるので, すべての内角と外角の和は $180\Deg\times n$ になります。そこから外角の和だけ求めるなら, $n$ 角形の内角の和をそれから引けばよい。つまり, からくりは以下のようです。
$(n$ 角形の内角の和 $)+(n$ 角形の外角の和 $)=180\Deg\times n$
これより,
$(n$ 角形の外角の和 $)=180\Deg\times n-(n$ 角形の内角の和 $)$
$n$ 角形の内角の和は $180\Deg\times (n-2)$ なので,
$(n$ 角形の外角の和 $)=180\Deg\times n-180\Deg\times(n-2)=360\Deg$
以上のことより,
$n$ 角形の外角の和は $360\Deg$ である。

多角形の外角の和

多角形の外角の和は常に $360\Deg$

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