中学数学：R6年度徳島県基礎学力テスト中1(規則性)解説

こんにちは。今回は徳島県の基礎学力テスト(中1)の問題から規則性を取り上げてみます。結構前の徳島県の入試問題の類題ですね。それではいってみましょう。

問題

次のあきらさんとひとみさんの会話文を読んで, 次の(1)・(2)に答えなさい。
あきら：何を作っているのかな？
ひとみ：★(星)と♢(ダイヤ)と♡(ハート)の形をした3種類の画用紙をひもに通して, 飾りを作っているよ。
あきら：とってもすてきだね！どのように作っているか教えてくれないかな？
ひとみ：まず, 星から始めて, 下の図のような規則にしたがって作っていくよ。
★♢♡♡♡♢★♢♡♡♡♢★♢♡・・・
(1) ひとみさんが, 全部で37枚の画用紙をひもに通したとき, 次にひもに通す画用紙の形は, 星, ダイヤ, ハートのうちどれか答えなさい。
(2) 飾りが完成したとき, ひもに通した最後の画用紙の形が星であった。次の $\maru1$ ・ $\maru2$ に答えなさい。
$\maru1$ 星の形をした画用紙が全部で $n$ 枚あるとき, ひもに通した画用紙は全部で何枚あるか, $n$ を使った式で表しなさい。
$\maru2$ 全部で133枚の画用紙を使ったとき, その中に星の形をした画用紙は全部で何枚あるか求めなさい。

【R6年度徳島県基礎学力テスト中1】

解答・解説

【解答】
(1) ダイヤ
(2) $6n-5$ (枚)
(3) $23$ 枚
【解説】
(1) この問題はカタマリで考える問題です。今回カタマリは★♢♡♡♡♢が繰り返すので, 6つのカタマリで考えます。
37枚のとき, この6つのカタマリがいくつできるかというと, $36\div6=6\cdots1$ となり, 6つのカタマリは6個できて, 1枚余る形となります。この余った1枚は, 6つの画用紙の一番最初にあたるので, 星(★)となります。したがって, 次にひもに通すのはダイヤ(♢)となります。
(2)
$\maru1$ ひもに通した最後の画用紙の形が星(★)である場合を考えます。
星(★)が1枚のときは全部で1枚, 星(★)が2枚のときは全部で7枚, $\cdots$ と調べると以下の表のようになり,

このとき $n$ が1増えるごとに6枚ずつ一定に増えているので, 求める式は $6n+b$ ( $n$ の一次式)となり, $n=1$ のとき枚数は1なので, $6\times1+b=1$ から $b=-5$ を求めて,
$6n-5$ (枚)となります。
これがわかりにくければ, 最初の枚数である1枚に6枚ずつ足していったのが $n$ 番目の枚数なので, $n$ 番目までにはその6を足すという行いが $(n-1)$ 回行われるので, 求める枚数は,
$1+6\times(n-1)=6n-5$ と考えても大丈夫です。

$\maru2$ 全部で133枚使うとき, 6枚のカタマリは $133\div6=22\cdots1$ となり, 6枚のカタマリは22個できて, 1枚余る。1つのカタマリに星(★)は1枚しかない。また, 余りの1枚は星(★)になるので, 星(★)の枚数は,
$22\times1+1=23$
$23$ 枚となる。