中学数学:攻略法:規則性① 等差数列

こんにちは。規則性の攻略方法です。等差数列に関してです。それではどうぞ。

差が一定の場合・等差数列

規則性の攻略(差が一定の場合・等差数列)

〇規則性の問題は問題によるが差が一定かどうか, 4番目までは出てくる数字を調べたい。
〇大別して2パターン
【パターン1】 1番目, 2番目など図形が分けて書いてくれている場合は, 1番目, 2番目の図から規則を調べ3番目, 4番目の図を書いて, 数字を調べる。
【パターン2】 1番目, 2番目の図が書いてなく, 3番目, 4番目などのまとまった図形が書いてある場合は, パターン1とは逆に3番目, 4番目の図形から規則を調べ, 1番目, 2番目の図形を書いて, 数字を調べる。
〇調べた数字をもとにn番目の式をつくる。
例 調べた数字が以下のような場合

差が一定で3であるから, 高校生の等差数列の公式 : (初項)+(公差)\times(n-1)を使いたいところですが, 要らない。
次の考え方で中学生のは事足ります。上のはじめの数字が4, 差が3で一定の場合でn番目を求める式は, 差が3なので3nとし, 3に何を足したらはじめの数字4になるかを考えると1なので, n番目の式は3n+1となる。
もう一つ例を上げてみます。
例 調べた数字が以下のような場合

同じように考えてはじめの数字6, 差が8で一定でn番目を求める式は, 差が8なので8nはじめの数字が6なので8に-2を足すとはじめの数字6になるので, n番目の式は8n-2となる。

入試問題を解こう

〇入試問題を見ていこう(emathサイトから問題を拝借しました。)。鹿児島県の入試問題です。

1辺の長さが5cmである黒い正方形のタイルの周りを,1辺の長さが1cmである白い正方形のタイルで,すき間なく重ならないように囲む。たとえば,図1のように,黒いタイルが1枚のときは,白いタイルは全部で24枚必要であり,図2のように,黒いタイル2枚を横一列に並べるときは,白いタイルは全部で41枚必要である。このとき,次の(1), (2)の問いに答えよ。(鹿児島)

(1) 黒いタイル3枚を横一列に並べるとき,白いタイルは全部で何枚必要か。

(2) 図3のように,黒いタイルn枚を横一列に並べるとき,白いタイルは全部で何枚必要か。nを用いて表せ。

さて解いていくのだが, 1番目, 2番目の図が書いてくれてある。1番目は確かに24枚, 2番目は41枚, 3番目, 4番目の図を確認のために図を書くと, 以下のようになる。(注)数え上げのミスには気をつけよう。確認のためですので。

白のタイルを数えると3番目58枚, 4番目75枚。差を見てみると,

差が17で一定なので17n。1番目の数字が24なので, 17に7を足すと24になる。
よって, n番目は17n+7(枚)
答(1)58枚,(2)17n+7(枚)

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