中学数学：攻略法：規則性②　階差数列

こんにちは。今回は階差数列の規則性についてです。階差数列にはあまり触れませんので気軽に読んでください。

差の差が一定の場合・階差数列

規則性の攻略(差の差が一定の場合・階差数列)
〇数字の差を調べたが差が等しくない場合がある。ただその差の数字を見たとき, 一定の差があるときは掛け算に直すと片付く問題が多い。
〇 1で掛け算に直すと片付くとあるが, 数え方の工夫をすれば難しいことはしなくても片付くことが多い。

I図のように同じ大きさの白色のタイルがある。これをII図のようにある規則に従って, 隙間なく並べていく。 $n$ 番目に使う白色のタイルの総数を $n$ を使って表しなさい。この例を使って考えてみる。

もし仮に勢い余ってタイルを数えたとする。4番目まで図形を書いて調べたとすると
1, 6, 15, 28, $\cdots$
となる。差を調べてみると,

となり差が5, 9, 13, $\cdots$ で一定ではない。ただ, 差の5, 9, 13, $\cdots$ をみると,

で差が4で一定である。この場合, 1, 6, 15, 28, $\cdots$ の数字から掛け算に直す( $n$ 番目の式を得る)こともできるが, 差が一定でない場合は, 数え方の工夫でその掛け算の式を導くことができる。
この場合できる図形が長方形なので, 縦 $\times$ 横でタイルの総数は求まる。
1番目は1 $\times$ 1(枚),
2番目は2 $\times$ 3(枚),
3番目は3 $\times$ 5(枚),
4番目は4 $\times$ 7(枚),
のようになり,
$n$ 番目は $n\times (2n-1)$ (枚)
となり, $n(2n-1)$ (枚)となる。
差が一定でなくとも, その差の差を調べて一定なら, 数え方を工夫する方法を考えたほうが良い。
特によく出てくる数字は, 1, 4, 9, 16, 25, $\cdots$ であって, $n$ 番目の数字は $n^2$ という具合なのでこれは抑えておきたい。