中学数学:攻略法:規則性② 階差数列

こんにちは。今回は階差数列の規則性についてです。階差数列にはあまり触れませんので気軽に読んでください。

差の差が一定の場合・階差数列

規則性の攻略(差の差が一定の場合・階差数列)
〇 数字の差を調べたが差が等しくない場合がある。ただその差の数字を見たとき, 一定の差があるときは掛け算に直すと片付く問題が多い。
〇 1で掛け算に直すと片付くとあるが, 数え方の工夫をすれば難しいことはしなくても片付くことが多い。

I図のように同じ大きさの白色のタイルがある。これをII図のようにある規則に従って, 隙間なく並べていく。n番目に使う白色のタイルの総数をnを使って表しなさい。この例を使って考えてみる。

もし仮に勢い余ってタイルを数えたとする。4番目まで図形を書いて調べたとすると
1, 6, 15, 28, \cdots
となる。差を調べてみると,

となり差が5, 9, 13, \cdotsで一定ではない。ただ, 差の5, 9, 13, \cdotsをみると,

で差が4で一定である。この場合, 1, 6, 15, 28, \cdotsの数字から掛け算に直す(n番目の式を得る)こともできるが, 差が一定でない場合は, 数え方の工夫でその掛け算の式を導くことができる。
この場合できる図形が長方形なので, 縦\times横でタイルの総数は求まる。
1番目は1\times1(枚),
2番目は2\times3(枚),
3番目は3\times5(枚),
4番目は4\times7(枚),
のようになり,
n番目はn\times (2n-1)(枚)
となり, n(2n-1)(枚)となる。
差が一定でなくとも, その差の差を調べて一定なら, 数え方を工夫する方法を考えたほうが良い。
特によく出てくる数字は, 1, 4, 9, 16, 25, \cdotsであって, n番目の数字はn^2という具合なのでこれは抑えておきたい。

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