高校数学：定期テスト対策：仮説検定(母平均の検定)

2025年3月28日

こんにちは。定期テスト対策です。

問題

ある数学のテストは, 全国の平均点が60点であった。A県の生徒から抽出した900人のこのテストの得点の平均点は61点で, 標準偏差は18点である。A県の生徒全員の得点の平均を $m$ とするとき, $m$ は60より大きいと判断できるか, 有意水準 $5\%$ で検定せよ。

解答・解説

【解答】
$m$ は60より大きいと判断できる。

【解説】
この場合の対立仮説は $m$ は60より大きい, $m>60$ 。帰無仮説は $m=60$ である。
$m=60$ と仮定する。
標本の大きさ900として, 標本平均を $\overline{X}$ とすると,
$E(\overline{X})=60$ , $\sigma(\overline{X})=\dfrac{18}{\sqrt{900}}=0.6$
標本900は十分大きいので, $\overline{X}$ は $N\left(60, (0.6)^2\right)$ にしたがう。
よって,
$Z=\dfrac{\overline{X}-60}{0.6}$ は近似的に標準正規分布 $N(0, 1)$ にしたがう。
有意水準 $5\%$ で片側検定なので, 棄却域は $Z>1.64$
ここで, $\overline{X}=61$ のとき,
$Z=\dfrac{61-60}{0.6}=1.666\cdots$
より, これは棄却域に入る。よって, 帰無仮説を棄却でき, $m$ は60より大きいと判断できる。

今回の問題は大きいかどうかだけ検定するので, 片側検定になります。

問題

解答・解説

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