高校数学：定期テスト対策：推定(母比率の推定)

2025年3月28日

こんにちは。定期テスト対策です。

問題

ある工場の製品から800個を無作為に選んだところ, 32個の不良品があった。この製品全体の不良品の率 $p$ を信頼度 $95\%$ で推定せよ。答えは小数第4位を四捨五入せよ。必要であれば $\sqrt3=1.732$ を用いよ。

解答・解説

【解答】
$0.026$ 以上 $0.054$ 以下

【解説】
標本比率 $R=\dfrac{32}{800}=0.04$
標本の大きさは800で, 信頼度は $95\%$ であるから,
$0.04-1.96\sqrt{\dfrac{0.04\times0.96}{800}}\leqq p\leqq 0.04+1.96\sqrt{\dfrac{0.04\times0.96}{800}}$
ここで,
$\begin{array}{lll}1.96\sqrt{\dfrac{0.04\times0.96}{800}}&=&1.96\times\sqrt{\dfrac{0.04^2\times24}{800}}\\&=&1.96\times0.04\times\dfrac{\sqrt{3}}{10}\\&\fallingdotseq&0.01356\end{array}$
よって,
$0.04-0.0136\leqq p\leqq 0.04+0.0136$
$0.0264\leqq p \leqq 0.0536$
つまり
$0.026\leqq p \leqq 0.054$