高校数学：解と係数の関係と定数mの範囲①

こんにちは。今回は2次方程式の解の性質から解と係数の関係を用いて, 与えられた文字の範囲を調べていきましょう。最後に数Iでの解法も載せておきます。それでは例題を解きながら見ていきましょう。

例題

【例題】2次方程式 $x^2+2(3m-1)x+9m^2-4=0$ が, 次のような解をもつとき, 定数 $m$ の範囲を求めよ。
(ア)　異なる2つの正の解
(イ)　異なる2つの負の解
(ウ)　1つは正の解で, 他の解は負の解

解法への下準備

【下準備】
2次方程式の異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とすると, 解と係数の関係より,
$\alpha+\beta=-2(3m-1)$
$\alpha\beta=9m^2-4$
また, 判別式 $D/4=(3m-1)^2-(9m^2-4)=-6m+5$
を下準備として求めておきます。以下これらを用いて解法していきます。

(ア)の解法

(ア)　異なる2つの解を持つので, 判別式 $D/4>0\cdots\maru1$ , 異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とすると, この2解はともに正なので,
$\alpha+\beta>0\cdots\maru2$ , かつ, $\alpha\beta>0\cdots\maru3$
が成り立つ。
$\maru1$ から, $-6m+5>0$ , よって, $m<\dfrac{5}{6}\cdots\maru{1}'$
$\maru2$ から, $-2(3m-1)>0$ , よって, $m<\dfrac13\cdots\maru{2}'$
$\maru3$ から, $9m^2-4>0$ , $(3m-2)(3m+2)>0$ , よって, $m<-\dfrac23, m>\dfrac23\cdots\maru{3}'$
$\maru{1}', \maru{2}', \maru{3}'$ より, 共通範囲を求めると,
$m<-\dfrac23\cdots$ (答)

(イ)の解法

(イ)　異なる2つの解を持つので, 判別式 $D/4>0\cdots\maru1$ , 異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とすると, この2解はともに負なので,
$\alpha+\beta<0\cdots\maru2$ , かつ, $\alpha\beta>0\cdots\maru3$
が成り立つ。
$\maru1$ から, $-6m+5>0$ , よって, $m<\dfrac{5}{6}\cdots\maru{1}'$
$\maru2$ から, $-2(3m-1)<0$ , よって, $m>\dfrac13\cdots\maru{2}'$
$\maru3$ から, $9m^2-4>0$ , $(3m-2)(3m+2)>0$ , よって, $m<-\dfrac23, m>\dfrac23\cdots\maru{3}'$
$\maru{1}', \maru{2}', \maru{3}'$ より, 共通範囲を求めると,
$\dfrac23<m<\dfrac56\cdots$ (答)