高校数学：数III微分・e^xはなぜ微分してもe^xなのか

こんにちは。今回は微分しても変わらない $e^x$ について書いておきます。

e^xはなぜ微分してもe^xなのか

$e$ の定義は,
$e=\displaystyle\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1t}\cdots\maru1$
である。
詳しくはこちらの記事を参照ください。
さて, $\maru1$ の両辺の自然対数をとると,
$\begin{array}{rll}\log e&=&\displaystyle\lim_{t\to0}\log (1+t)^{\frac1t}\\1&=&\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\log (1+t)}{t}\end{array}$
よって,
$\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\log (1+t)}{t}=1\cdots\maru2$
$\maru2$ の式で, $1+t=e^x$ とおくとき,
$t\longrightarrow0$ なら, $x\longrightarrow0$ であり, $t=e^x-1$ であるから, $\maru2$ 式の左辺は次のように書ける。
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\log \left\{1+(e^x-1)\right\}}{e^x-1}&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\log e^x}{e^x-1}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x}{e^x-1}\end{array}$
よって,
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x}{e^x-1}=1$
ここで, 左辺の分母分子を入れ換えても値は変わらないので,
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\cdots\maru3$
となる。
ここで, 関数 $y=e^x$ を導関数の定義にしたがって微分すると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{dy}{dx}&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{e^{x}\left(e^{h}-1\right)}{h}\\&=&e^x\cdot\underline{\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{e^h-1}{h}}\\&=&e^x\cdot1\\&=&e^x\end{array}$
このように, $e^x$ は微分しても $e^x$ となるわけである。
※下線部は $\maru3$ から $\mathrm{1}$ となる。