TikZ：高校数学：数IIIグラフ：覚えておくといいグラフとその概形(√x＋√y＝1)

今回は $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ のグラフについて書いておきます。関数を見たらグラフの概形が浮かぶ。そんな具合になるまで練習を積んでください。

√x＋√y＝1のグラフ

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$
この関数は, $0\leqq x\leqq 1$ , $0\leqq y\leqq 1$ で定義されます。
これを変形すると, $\sqrt y=1-\sqrt x$ となり, この両辺を2乗すると,
$y=1-2\sqrt x+x\to f(x)=x-2\sqrt{x}+1$ とおく,
$f(x)$ の両辺を $x$ で微分すると,
$f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
これは, $0< x\leqq 1$ のとき, $f'(x)\leqq0$ であるから, $f(x)$ は単調減少。
また, $x=1$ で $f'(x)=0$ となり,
$f(1)=0$ , $f(0)=1$ である。 $x=\dfrac14, y=\dfrac14$ もこれを満たす。
$\sqrt x+\sqrt y=1$ の $x, y$ を入れ換えても式は変わらないので, この曲線は $y=x$ について対称である。
以上のことからグラフを描くと以下の赤線部のようになる。

$\sqrt x+\sqrt y=1$ の一般形として, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ としても, 同様のグラフが得られる。このとき, $x$ 軸, $y$ 軸の交点がそれぞれ, $(a, 0)$ , $(0, a)$ となる。
また, この曲線はアステロイドに似ているが, この曲線は放物線の一部になる(証明割愛)。グラフ中の破線部は放物線の概形を記したものである。