TikZ:高校数学:数IIIグラフ:覚えておくといいグラフとその概形(√x+√y=1)

今回は\sqrt{x}+\sqrt{y}=1のグラフについて書いておきます。関数を見たらグラフの概形が浮かぶ。そんな具合になるまで練習を積んでください。

√x+√y=1のグラフ

\sqrt{x}+\sqrt{y}=1
この関数は, 0\leqq x\leqq 1, 0\leqq y\leqq 1で定義されます。
これを変形すると, \sqrt y=1-\sqrt xとなり, この両辺を2乗すると,
y=1-2\sqrt x+x\to f(x)=x-2\sqrt{x}+1とおく,
f(x)の両辺をxで微分すると,
f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}
これは, 0< x\leqq 1のとき, f'(x)\leqq0であるから, f(x)は単調減少。
また, x=1f'(x)=0となり,
f(1)=0, f(0)=1である。x=\dfrac14, y=\dfrac14もこれを満たす。
\sqrt x+\sqrt y=1x, yを入れ換えても式は変わらないので, この曲線はy=xについて対称である。
以上のことからグラフを描くと以下の赤線部のようになる。

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\sqrt x+\sqrt y=1の一般形として, \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}としても, 同様のグラフが得られる。このとき, x軸, y軸の交点がそれぞれ, (a, 0), (0, a)となる。
また, この曲線はアステロイドに似ているが, この曲線は放物線の一部になる(証明割愛)。グラフ中の破線部は放物線の概形を記したものである。

出題例

【出題例】東北大では以下の関数が問題文の中にあった。
\sqrt{\dfrac{x}{3}}+\sqrt y=1\ \ 0\leqq x\leqq3, 0\leqq y\leqq 1
グラフは以下の赤線部ようになる。もちろん, こちらも放物線の一部になる。

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