高校数学：積分：定期テスト対策(積分方程式の問題②)

2023年5月30日

こんにちは。積分方程式の問題です。定期テスト対策になります。それではどうぞ。

問題

【問題】関数 $f(x)$ が, $f(x)=x^2-\displaystyle\int_0^2 xf(t)\, dt+2\displaystyle\int_0^1f(t)\, dt$ を満たすとき, 関数 $f(x)$ を求めよ。

解答例

【解答例】

$x$ は $t$ に関係ないので,
$f(x)=x^2-x\displaystyle\int_0^2 f(t)\, dt+2\displaystyle\int_0^1f(t)\, dt$
$\displaystyle\int_0^2 f(t)\, dt=a$ , $\displaystyle\int_0^1f(t)\, dt=b$ とおくと,
$f(x)=x^2-ax+2b$ とおける。
ここで,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int_0^2 f(t)\, dt&=&\displaystyle\int_0^2(t^2-at+2b)\, dt\\&=&\left[\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{a}{2}t^2+2bt\right]_0^2\\&=&\dfrac83-2a+4b=a\end{array}$
よって,
$\dfrac83-2a+4b=a\to 9a-12b=8\cdots\maru1$
また,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int_0^1 f(t)\, dt&=&\displaystyle\int_0^1(t^2-at+2b)\, dt\\&=&\left[\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{a}{2}t^2+2bt\right]_0^1\\&=&\dfrac13-\dfrac{a}{2}+2b=b\end{array}$
よって,
$\dfrac13-\dfrac{a}{2}+2b=b\to 3a-6b=2\cdots\maru2$
$\maru1, \maru2$ を解いて,
$a=\dfrac43, b=\dfrac13$
したがって, 求める関数 $f(x)$ は,
$f(x)=x^2-\dfrac43x+\dfrac23\cdots$ (答)

問題

解答例

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