高校数学：図形と方程式：2つの接線の接点を通る直線の式の求め方

こんにちは。知っている人は問題ないと思うのですが, 知らないとドツボにはまる可能性があるので, しっかりと学んでおいてください。それでは例題を解きながら見ていきましょう。

例題

【例題】点 $\mathrm{P}( 3, 1 )$ から円 $x^2+y^2=5$ に引いた2本の接線と円の接点をそれぞれA, Bとするとき, 直線ABの式を求めよ。

解答例

この単元を習ったばかりでこの問題に出くわすと, ほとんどの人が接点A, Bを求めようとする。基本はそれでもいいのだが, 少ししんどいことも起こるので, 先ずは何も知らないということで, 接点A, Bを求めてから答えを導いてみようと思う。
【解答例】
接点を $( s, t )$ とおくと, 接線の式は, $sx+ty=5$ と表される。
これが, $\mathrm{P}( 3, 1 )$ を通るので,
$3s+t=5\cdots\maru1$
となる。
また, $( s, t )$ は円上の点なので,
$s^2+t^2=5\cdots\maru2$
が成り立つ。
$\maru1$ より, $t=5-3s$ となり, これを $\maru2$ に代入すると,
$s^2+(5-3s)^2=5$
整理して,
$s^2-3p+2=0$
$(s-1)(s-2)=0$
よって, $s=1, 2$
$s=1$ のとき, $t=2$ ,
$s=2$ のとき, $t=-1$
よって, 接点A, Bの座標は, $(1, 2), (2, -1)$ となる。
この2点を通る直線の式は,
$3x+y=5$
となる。

続いてこの問題

【例題】点 $\mathrm{P}( 3, 4 )$ から円 $x^2+y^2=3$ に引いた2本の接線と円の接点をそれぞれA, Bとするとき, 直線ABの式を求めよ。

先ほどは接点の座標が整数で出てきたのですが, 今回はそうではないというとき, どうするのか。ちょっと従来通りの解き方でやってみる。
【解答例】
接点を $( s, t )$ とおくと, 接線の式は, $sx+ty=3$ と表される。
これが, $\mathrm{P}( 3, 4 )$ を通るので,
$3s+4t=3\cdots\maru1$
となる。
また, $( s, t )$ は円上の点なので,
$s^2+t^2=3\cdots\maru2$
が成り立つ。
$\maru1$ より, $s=\dfrac{3-4t}{3}$ となり, これを $\maru2$ に代入すると,
$\left(\dfrac{3-4t}{3}\right)^2+t^2=3$
整理して,
$25t^2-24t-18=0$
これを解くと…？解くんですか？ってなりますよね。
面倒極まりないです。
実はこの手の問題には公式というか解法があるのです。以下にそれを示します。
【解法】
接点Aの座標を $\mathrm{A}(x_1, y_1)$ とすると, 接線の式は
$x_1x+y_1y=3\cdots\maru1$
接点Bの座標を $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ とすると, 接線の式は
$x_2x+y_2y=3\cdots\maru2$
と表される。 $\maru1, \maru2$ はともに, $\mathrm{P}( 3, 4 )$ を通るので,
$3x_1+4y_1=3\cdots\maru3$
$3x_2+4y_2=3\cdots\maru4$
と表される。このとき, $\maru3, \maru4$ から, 接点 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$ , $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ の座標は, 直線 $3x+4y=3$ 上にあると見ることができる。したがって求める直線の式は,
$3x+4y=3$
となる。