高校数学：二項分布：二項分布の平均,分散,標準偏差

2024年2月17日

こんにちは。定期テスト対策です。それではどうぞ。

問題

【問題】赤玉が6個, 白玉が4個入った袋から1個の玉を取り出して, 色を確認してからもとの袋に戻す。この作業を6回繰り返して, 赤玉の出る回数を $X$ とするとき, $X$ の期待値 $E(X)$ , 分散 $V(X)$ , 標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。また, $X=4$ のときの確率 $P(X=4)$ も求めよ。

解答・解説

【解答】
$E(X)=\dfrac{18}{5}$ ,
$V(X)=\dfrac{36}{25}$ ,
$\sigma(X)=\dfrac65$ ,
$P(X=4)=\dfrac{972}{3125}$
【解説】
$X=r$ となる確率は, $_6\mathrm{C}_r\left(\dfrac35\right)^r\left(\dfrac25\right)^{6-r}\cdots\maru1$ となるので, 確率変数 $X$ は二項分布 $\left(6, \dfrac35\right)$ に従う。
よって,
$E(X)=6\times\dfrac35=\dfrac{18}{5}$
$V(X)=6\times\dfrac35\times\dfrac25=\dfrac{36}{25}$
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\dfrac65$

$P(X=4)$ は $\maru1$ で, $r=4$ とすればいい。
よって,
$P(X=4)=_6\mathrm{C}_4\left(\dfrac35\right)^4\left(\dfrac25\right)^2=\dfrac{972}{3125}$

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問題

解答・解説

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