こんにちは。令和6年度の徳島県の入試問題から, 一次関数の問題です。
下の図のように, 直線上に点A, 直線
上に点C, 直線
上に点Eがあり, 点Aの
座標は3である。また, 四角形ABCDと四角形AEFGがともに正方形になるように点B, D, F, Gをとる。ただし, 点Cと点Fの
座標はともに3より大きく, 辺ABと辺AEはともに
軸に平行とする。(1)~(4)に答えなさい。
(1) 点Eの座標を求めなさい。
(2) 2点A, Fを通る直線の式を求めなさい。
(3) 正方形ABCDを, 辺ABを回転の軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
(4) 辺FG上に点Pをとり, の周の長さが最小となるような点Pの座標を求めなさい。
(1) を
に代入して,
。
よって, (答)
(2) 線分AFは正方形の対角線なので, の増加量と
の増加量は等しく, 右下がりになっているので, 直線AFの傾きは
である。したがって, 求める直線は
とおくことができ, A(3, 9)を通るので, これを代入し, 切片
を求めると,
よって, 求める直線は(答)
【別解】A(3, 9), E(3, -3)より, であるから,
,
である。よって求める直線は, A(3, 9),
を通る直線
(3) 回転させたときにできる立体の底面の半径と高さを求めるために, (2)でもとめた直線と
の交点Cの座標を求める。
,
を
に代入して
。よって, C( 8, 4 )となる。このことから,
なので, 求める立体の体積は,
(答)
(4) 直線GFについて, Aと対称になる点Qをとる。なので,
。よって, 直線OQの式は
。求める点Pは直線OQと線分GFの交点だから,
に
を代入して,
。
よって, 点Pの座標は, (答) 下図参照