高校数学：三角関数：座標の回転と加法定理

2024年6月23日

こんにちは。定期テストでよく問われる問題ですね。それではどうぞ。

座標の回転

【問題】点( 3, 4 )を, 原点Oを中心として $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転させた点Qの座標を求めよ。

解答・解説

点Pの動径 $r$ は $r=\sqrt{3^2+4^2}=5$ である。したがって, 線分OPと $x$ 軸の正の向きがなす角を $\alpha$ とすると,
$\sin\alpha=\dfrac45$ , $\cos\alpha=\dfrac35$ である。このことから, 点Pを $r$ , $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ を用いて表すと, $\text{P}(r\cos\alpha, r\sin\alpha)$ となる。
これを $\dfrac{\pi}{3}$ 回転させると, $x$ 座標は
$\begin{array}{lll}r\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)&=&5\left\{\cos\alpha\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{3}\right\}\\&=&5\left(\dfrac35\cdot\dfrac12-\dfrac45\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\\&=&\dfrac{3-4\sqrt3}{2}\end{array}$
$y$ 座標は,
$\begin{array}{lll}r\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)&=&5\left\{\sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{3}+\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\alpha\right\}\\&=&5\left(\dfrac45\cdot\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{3}{5}\right)\\&=&\dfrac{4+3\sqrt3}{2}\end{array}$
よって求めるQの座標は,
$\left(\dfrac{3-4\sqrt3}{2}, \dfrac{4+3\sqrt3}{2}\right)\cdots$ (答)

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座標の回転

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