TikZ：中学数学：平面図形：R6北海道高校入試問題大問4(一部略)

こんにちは。まずは解いてみましょう。いい問題ですよ。

北海道

【問題】大地さんは, 四角形ABCDの各辺における4点P, Q, R, Sの取り方に着目し, コンピュータを使って, 図のように, この4点を各辺の辺上で動かしました。
大地さんは, 「 $\text{AP : PB=CQ : QB=CR : RD=AS : SD=1 : 3}$ のとき, 四角形PQRSは平行四辺形である」と予想しました。

次の(1), (2)に答えなさい。
(1) 大地さんの予想が成り立つことを証明しなさい。
(2) 四角形ABCDの対角線BDと, 線分PQ, RSとの交点をそれぞれM, Nとします。 $\sankaku{APS}$ の面積が3cm $^2$ であるとき, 四角形PMNSの面積を求めなさい。
ただし, 四角形PQRSは平行四辺形であることがわかっています。

解答・解説

(1) 対角線BDを結ぶ。
仮定より,
$\text{AP : PB=AS : SD=1 ; 3}$ より, $\text{PS//BD\cdots\maru1}$
$\text{CQ : QB=CR : RD=1 : 3}$ より, $\text{QR//BD\cdots\maru2}$
$\maru1$ , $\maru2$ より, $\text{PS//QR}\cdots\maru3$
また, $\sankaku{APS}$ ∽ $\sankaku{ABD}$ (2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい)より,
$\text{PS}=\dfrac14\text{BD}\cdots\maru4$
同様に, $\sankaku{CQR}$ ∽ $\sankaku{CBD}$ より,
$\text{QR}=\dfrac14\text{BD}\cdots\maru5$
$\maru4$ , $\maru5$ より,
$\text{PS}=\text{QR}\cdots\maru6$
$\maru3$ , $\maru6$ より,
1組の向かい合う辺が等しくて平行なので, 四角形PQRSは平行四辺形である。

(2) 平行四辺形PMNSは $\sankaku{SMN}$ の2倍として考える。
(1)より $\text{PS : BD=1 : 4}$ であるから, $\sankaku{APS}$ と $\sankaku{ABD}$ の面積比は $1 : 16$ である。したがって, $\sankaku{ABD}$ の面積は48cm $^2$ 。ここで, $\text{PS=MN}$ より, $\text{MN : BD}=1 : 4$ であるから, $\sankaku{SMN}$ は, $\sankaku{SBD}$ の $\dfrac14$ , $\sankaku{SBD}$ は $\sankaku{ABD}$ の $\dfrac34$ である。
よって, 平行四辺形PMNSの面積は
$\sankaku{ABD}\times\dfrac34\times\dfrac14\times2=48\times\dfrac34\times\dfrac14\times2=18$
18cm $^2\cdots$ (答)

北海道

解答・解説

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