TikZ：2019年度・愛知県A：回転体

こんにちは。相城です。さて、今回は2019年度愛知県Aグループから回転体の問題です。ただ、レベル的には中3になりますので、三平方の定理が終わった段階で解いてみてください。それではどうぞ。

図で、円Oは中心が△ABCの辺BC上にあり、直線AB、ACとそれぞれ点B、Dで接している。
AB $=$ 2cm、AC $=$ 3cmのとき、次の①、②の問いに答えなさい。
①　円Oの面積は何cm $^2$ か、求めなさい。
②　△DBCを辺BCを回転の軸として1回転させてできる立体の体積は、円Oを辺BCを回転の軸として1回転させてできる立体の何倍か、求めなさい。

答え

①

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まず三平方の定理よりBC $=\sqrt{5}$ 、
上図のようにOとDを結ぶ。BO(半径)を $x$ とおくと、
DO $=x$ 、CO $=\sqrt{5}-x$ また、AB $=$ AD $=2$ 、AC $=3$ より、
DC $=$ 1。△OCDで、三平方の定理より、
CO $^2=$ DO $^2+$ DC $^2$ すなわち
$(\sqrt{5}-x)^2=x^2+1$ これより、
$x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
よって円の面積は
$\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 \pi=\dfrac{4}{5}\pi$ cm $^2$
②
DからBCに下ろした垂線の足をHとすると、
△CDH∽△CABで相似比は $1 : 3$ であるから、
DH $: 2=1 : 3$
DH $=\dfrac{2}{3}$
このとき、△DBCをBCを軸として回転させた立体の体積は
BC $=\sqrt{5}$ なので
$\dfrac{4}{9}\pi\times\sqrt{5}\times\dfrac{1}{3}= \dfrac{4\sqrt{5}}{27}\pi$
円OをBCを軸として1回転させると球ができるので
その球の半径は $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ であるから、
体積は $\dfrac{4}{3}\pi\times\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^3=\dfrac{32\sqrt{5}}{75}\pi$
よって、
$\dfrac{4\sqrt{5}}{27}\pi\div\dfrac{32\sqrt{5}}{75}\pi=\dfrac{25}{72}$
$\dfrac{25}{72}$ 倍・・・答え

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