こんにちは。相城です。2020年2月に行われた千葉県の前期問題から。突破口が見つかればやりやすいです。見つけられるかな?私のが正しいかどうかは不明ですけどね。それではどうぞ。
空の箱Aと箱Bが1つずつあり、それぞれの箱には、ビー玉の個数を増やすために、次のようなしかけがしてある。
【箱Aと箱Bのしかけ】
・箱Aにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、入れた個数の3倍になる。
・箱Bにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、入れた個数の5倍になる。
==ここまで箱A,Bのしかけ==
1つの箱にビー玉をすべて入れた後、箱の中のビー玉をすべて取り出すことをくり返し、ビー玉の個数を増やしていく。
例えば、はじめに10個のビー玉を用意し、箱Aを1回使った後、箱Bを1回使ったときについて考える。10個のビー玉は、箱Aを使うことによって30個になり、この30個のビー玉は、箱Bを使うことによって150個になるので、最後に取り出したビー玉の個数は150個である。
このとき、次の(1)~(4)の問いに答えなさい。
(1) はじめに2個のビー玉を用意し、箱Aを2回使った後、箱Bを2回使った。最後に取り出したビー玉の個数を求めなさい。
(2) はじめにビー玉をいくつか用意し、箱A、箱Bを合計5回使ったところ、最後に取り出したビー玉の個数は2700個であった。はじめに用意したビー玉の個数を求めなさい。
(3) 箱Aと箱Bに加え、空の箱Xを1つ用意する。箱Xには、次のようなしかけがしてある。
【箱Xのしかけ】
・箱Xにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、入れた個数の倍になる。ただし、
は自然数とする。
==ここまで箱Xのしかけ==
はじめに1個のビー玉を用意し、箱Aを2回使った後、箱Bを1回使い、さらにその後、箱Xを2回使ったところ、最後に取り出したビー玉の個数は個であった。
このときの値を求めなさい。ただし、答えを求める過程がわかるように、式やことばも書きなさい。
(4) 1枚のコインを1回投げるごとに、表が出れば箱Aを使い、裏が出れば箱Bを使うこととする。はじめに4個のビー玉を用意し、1枚のコインを4回投げ、箱A、箱Bを合計4回使うとき、最後に取り出したビー玉の個数が1000個をこえる確率を求めなさい。
ただし、コインを投げるとき、表と裏のどちらが出ることも同様に確からしいものとする。
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450個
(2) 一瞬連立方程式の問題かと思いますが、式ができないですよね?
(1)を見つめると、同じ数字をくり返しかけていますよね。初めの個数を
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![Rendered by QuickLaTeX.com 2700=2^2\times3^3\times5^2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce6b16dede34a3e90680b29bf4a704a4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 3+2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8531fb6b1fe5037b2a1f2346c395f871_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2^2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93a016cc3a8fc03ef2f1bc3504c1dcbe_l3.png)
(3) 順に計算していくと
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![Rendered by QuickLaTeX.com 9\times5=45](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ebebbdfb9d30280a96a7d34ef9dc8a5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 45\times x\times x=45x^2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e747359eeccac27e119f99882df67365_l3.png)
これが
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![Rendered by QuickLaTeX.com 45x^2=540x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-106086990709cc2cbdc1f81a8415442d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 45x^2-540x=0](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93612b3aa4267493020b8f99a833ff09_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 45x(x-12)=0](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-055ca4acd5d7d51047ab34e95bb5008b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0,12](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0eb93a0315d0c3032048f7a9461a0a4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=12](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9db547523fff99c815ff303d45926b98_l3.png)
(4) はじめ4個あるのでそれが何倍以上になればいいかというと
![Rendered by QuickLaTeX.com 1000=4\times250](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b1a9626039b1e6ea07810a32bd49343_l3.png)
250倍以上になればいい。
そこで250を素因数分解すると
![Rendered by QuickLaTeX.com 250=2\times5^3](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd282d05029763ade8ead23c9813cffb_l3.png)
となり箱Bを最低3回使えばよい、
コインは4回投げるので、箱Bを3回か4回使う確率を求めればいい。
このことは、コインの裏が3回か4回のときと同じ意味なので、
コインの裏が3回か4回になる確率を求めると
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{5}{16}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0553c9ca0dfb7605af4234bee8098172_l3.png)