中学数学：攻略・できるだけ小さい自然数n

こんにちは。相城です。今回は平方根の問題で, できるだけ小さい自然数で書けたり割ったりして, 根号を外す問題についてのお話です。

この手の問題は, 素因数分解して2乗でくくれないものが答になる場合が多いです。
以下見ていきましょう。

基本手順

素因数分解
2乗の項の積に分ける
2乗の項になっていないものをが答えになる

分かりにくいときは, ルートの中を簡単にしたときに, 根号の中に残っている数が答えになる。分数の場合は根号の中に残った数字を掛けた数が答えになる。
※掛ける場合も割る場合も分数でなければ基本的には同じ数

例題とともに見ていこう

以下例題を使って攻略法を示す。
(1)　72にできるだけ小さい自然数 $n$ をかけてある自然数の2乗にしたい。
自然数 $n$ を求めなさい。
$72=2^3\times 3^2=2^2\times 3^2 \times\underline{2}$
下線部の2だけ2乗の項でない。よって $n=2$ となる。
もう少し例をやってみよう。

(2)　 $\sqrt{120n}$ が自然数になるとき, できるだけ小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。
$120=2^3\times 3\times 5=2^2\times \underline{2\times 3\times 5}$
下線部分は2乗でないので, $n=2\times 3\times 5=30$ となる。
慣れてくれば, 2乗の項に分解しなくても指数部分が奇数の部分を偶数にするという考え方で攻略できる。
この基本を先ずおさえてから, 次の分数を取り組んでもらいたい。

(3)　 $\sqrt{\dfrac{120n}{7}}$ が自然数となるとき, できるだけ小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。
分かりやすくするため, $120n$ の部分は(2)と同じとした。
$120=2^3\times 3\times 5=2^2\times \underline{2\times 3\times 5}$
である。ここで先と同じように, 2乗でない部分はかけてやらなければならない。ただ今回は分数なので分母(分数の下の部分)をはらってやるために, さらに7(分母)を掛けてやらなければならない。この7を掛けることで, 自然数になる。よって,
$n=2\times 3\times 5\times 7=210$
となる。

(4)　 $\sqrt{\dfrac{120}{n}}$ が自然数になる最も小さい自然数 $n$ を求めなさい。　　　　　　　
$120=2^3\times 3\times 5=2^2\times \underline{2\times 3\times 5}$
基本手順の下部に書いてありますが, 割る場合もかける場合と同じです。
下線部の数字で割ると, $2^2$ だけが残ります。したがって, $n=30$