高校数学：点と直線の距離の証明

こんにちは。今回は点と直線の距離の証明です。普通に解いていきますのでよろしくお願いします。

公式

点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax+by+c=0$ までの距離を $d$ とすると, $d$ は
$d=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
という式で与えられるというものです。

証明

直線 $ax+by+c=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$ の傾きは $-\dfrac{a}{b}$ であるから, 点 $(x_0, y_0)$ を通り, 直線 $ax+by+c=0$ に垂直な直線の式は,
$y=\dfrac{b}{a}\left(x-x_0\right)+y_0$ で与えられます。
この式を両辺 $a$ 倍して整理すると,
$bx-ay-bx_0+ay_0=0\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
となります。
$\textcircled{\scriptsize 1}, \textcircled{\scriptsize 2}$ を用いて, 交点を求めることにする。
まず $y$ 座標を求めると,
$\textcircled{\scriptsize 1}\times b-\textcircled{\scriptsize 2}\times a$ で, $x$ を消去し,
$\left(a^2+b^2\right)y+bc+abx_0-a^2y_0=0$
$y=\dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0}{a^2+b^2}$
次に $x$ 座標を求めると,
$\textcircled{\scriptsize 1}\times a+\textcircled{\scriptsize 2}\times b$ で, $y$ を消去し,
$\left(a^2+b^2\right)x+ac-b^2x_0+aby_0=0$
$x=\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0}{a^2+b^2}$
したがって, 求める距離 $d$ は
点( $x_0, y_0$ )と点 $\left(\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0}{a^2+b^2}, \dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0}{a^2+b^2}\right)$ との距離なので, 計算するのですが, 後で計算しやすいように, $x$ 座標, $y$ 座標で分けて計算を進めることにします。
$x$ 座標の差は
$\begin{array}{lll}&&\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0}{a^2+b^2}-x_0\\&=&\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0-x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\\&=&\dfrac{-a^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}\\&=&\dfrac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\end{array}$
$y$ 座標の差は
$\begin{array}{lll}&&\dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0}{a^2+b^2}-y_0\\&=&\dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0-y_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\\&=&\dfrac{-abx_0-b^2y_0-bc}{a^2+b^2}\\&=&\dfrac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}\end{array}$
求める距離 $d$ は
$d=\sqrt{\textcircled{\scriptsize 3}^2+\textcircled{\scriptsize 4}^2}$ で求められるので
$\begin{array}{lll}d&=&\sqrt{\left\{\dfrac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right\}^2+\left\{\dfrac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right\}^2}\\&=&\sqrt{\dfrac{a^2(ax_0+by_0+c)^2+b^2(ax_0+by_0+c)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\\&=&\sqrt{\dfrac{\cancel{\left(a^2+b^2\right)}\left(ax_o+by_0+c\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)\cancel{^2}}}\\&=&\sqrt{\dfrac{\left(ax_o+by_0+c\right)^2}{a^2+b^2}}\\&=&\dfrac{\left|ax_o+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$
よって,
$d=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
(終)

公式

証明

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